第七章 参数估计

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1、第七章参数估计统计推断的基本问题可以分为两大类，一类是估计问题，另一类是假设检验问题．本章讨论总体参数的点估计和区间估计．§1点估计设总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题．例1在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设它服从以>o为参数的泊松分布，参数为未知．现有以下的样本值，试估计参数．解由于X，故有＝E(X)．我们自然想到用样本均值来估计总体的均值E(X)．现由已知数据计算得到得E(X)＝的估计为1．22．口.176.点估计问题的一般提法如下：设总体X

2、的分布函数的形式为已知，是待估参数．X，，X：，…，X。是X的一个样本，是相应的一个样本值．点估计问题就是要构造一个适当的统计量()，用它的观察值（）作为未知参数的近似值．我们称()为的估计量，称()为的估计值．在不致混淆的情况下统称估计量和估计值为估计，并都简记为．由于估计量是样本的函数．因此对于不同的样本值，的估计值一般是不相同的。例如在例1中，我们用样本均值来估计总体均值．即有估计量下面介绍两种常用的构造估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法．(一)矩估计法设X为连续型随机变量，其概率密度为Zf(x；)，或X为离散型随机变量，其分布律为P{X＝x}＝p(x；)

3、，其中为待估参数，是来自X的样本．假没总体X的前k阶矩(其中Rx是X可能取值的范围)存在．一般来说，它们是的函数．基于样本矩：多于一个未知参数时，可同样讨论．·177·依概率收敛于相应的总体矩(i=l，2，…，k)，样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数(见第六章§2)，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量．这种估计方法称为矩估计法．矩估计法的具体做法如下：设这是一个包含是k未知参数的联立方程组．一般来说，可以从中解出，得到以Ai分别代替上式中的，i＝1，2，…，k，就以分别作为，i＝1，2，…，

4、k的估计量，这种估计量称为矩估计量．矩估计量的观察值称为矩估计值．例2设总体X在[a，b]上服从均匀分布，a，b未知．是来自X的样本，试求a，b的矩估计量．．178．·自这一方程组解得解所得结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异．(二)最大似然估计法若总体X属离散型，其分布律P{X．179．=x}=p(x;)，的形式为已知，为待估参数，是可能取值的范围．设是来自X的样本，则的联合分布律为又设是相应于样本的一个样本值．易知样本取到观察值的概率，亦即事件发生的概率为这一概率随的取值而变化，它是的函数。L()称为样本的似然函数(注意，这里是已知的

5、样本值．它们都是常数)．关于最大似然估计法，我们有以下的直观想法：现在已经取到样本值了，这表明取到这—一样本值的概率了L()比较大．我们当然不会考虑那些不能使样本，出现的作为估计，再者，如果已知当使取很大值，而中的其它的值使L()取很小值，我们自然认为取作为未知参数的估计值，较为合理．由费希尔(R．A．Fisher)引进的最大似然估计法，就是固定样本观察值，在取值的nT能范围内挑选使似然函数达到最大的参数值，作为参数的估计值．即取使这样得到的与样本值，有关，常记为()，称为参数的最大似然估计值，而相应的统计量()称为参数的最大似然估计量．若总体X届连续型，其概率密度

6、．f(x；)，的形式已知，为待估参数，是可能取值的范围．设是来自X．180．的样本，则的联合密度为设是相应于样本的一个样本值，则随机点()落在点()的邻域(边长分别为的n维立方体)内的概率近似地为其值随的取值而变化，与离散型的情况——样，我们取的估计值使概率(1．3)取到最大值，但因子不随而变，故只需考虑函数的最大值．这里称为样本的似然函数．若则称()为的最大似然估计值，称()为的最大似然估计量．这样，确定最大似然估计量的问题就归结为微分学中的求最大值的问题丁．以从方程·181’求得，而从后一方程求解往往比较方便．(1．6)称为对数似然方程。例4设．是来自X的一个样

7、本，试求参数p的最大似然估计量．解设是相应于样本的一个样本值．X的分布律为故似然函数为解得p的最大似然估计值p的最大似然估计量为我们看到这一估计量与矩估计量是相同的．口最大似然估计法也适用于分布中含多个未知参数的情况．这时，似然函数L是这些未知参数的函数．分别令．182．解上述由k个方程组成的方程组，即可得到各未知参数(i＝1，2，…，是)的最大似然估计值(1．7)称为对数似然方程组．例5设为未知参数，是来自X的一个样本值．求卢，f2的最大似然估计量．解X的概率密度为似然函数为它们与相应的矩估计量相同．口例6设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知，是一个