线性代数自考~考点汇总

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1、

2、行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.如性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.如推论2　如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．如性质4　若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如性质5　把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如2.余子式与代数余子式在n阶行

3、列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式，记作，叫做元素的代数余子式．如，元素的余子式为，元素的代数余子式为.

4、1.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或如定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或2.行列式的计算（1）二阶行列式（2）三阶行列式（3）对角行列式，（4）三角行列式（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的

5、性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.

6、矩阵1.常见矩阵1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ.2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E.3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如5）对称矩阵：设A为ｎ阶方阵，若，即，则称A为对称矩阵.6）反对称矩阵

7、：设A为ｎ阶方阵，若，即，则称A为反对称矩阵.7）正交矩阵：设A为ｎ阶方阵，如果或，则称A为正交矩阵.2.矩阵的加法、数乘、乘法运算（1）矩阵的加法如注：①只有同型矩阵才能进行加减运算；②矩阵相加减就是对应元素相加减.（2）数乘矩阵如注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.（3）矩阵的乘法：设，规定其中注：①左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数；②左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和是矩阵乘积C的元素.③左矩阵A的行数为乘积C的行数，右矩阵B的列数为乘积C的列数.如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即

8、列矩阵乘行

9、矩阵是s阶方阵，即1.逆矩阵设n阶方阵A、B，若AB=E或BA=E，则A，B都可逆，且.（1）二阶方阵求逆，设，则（两调一除法）.（2）对角矩阵的逆，.（3）分块对角阵的逆.（4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：.2.方阵的行列式由ｎ阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式.记作或det（A）.3.矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：

10、（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）.1.初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.如

11、都是初等矩阵.2.矩阵的秩矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩.记作R（A）或r（A）.求矩阵的秩的方法：（1）定义法：找出A中最高阶的非零子式，它的阶数即为A的秩.（2）初等行变换法：行阶梯形矩阵，R（A）=R（行阶梯形矩阵）=非零行的行数.3.重要公式及结论（1）矩阵运算的公式及结论矩阵乘法不满足交换律，即一般地AB≠AB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC，无B=C；只有当A可逆时，有B=C.一般地若AB=O，则无A=O或B=O..（2）逆矩阵的公式及定理A可逆

12、A

13、≠0A～E（即A与单位矩阵E等价）（3

14、）矩阵秩的公式及结论R(AB)≤R(A),R(AB)≤R(B).

15、特别地，当A可逆时，R(AB)=R(B)；当B可逆时，R(AB)=R(A).即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.1.矩阵方程（1）设A为n阶可逆矩阵，B为n×m矩阵，则矩阵方程AX=B的解为；解法：①求出，再计算；②.（2）设A为n阶可逆矩阵，B为m×n矩阵，则矩阵方程XA=B的解为；解法：①求出，再计算；②.2.矩阵间的关系（1）等价矩阵：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，那么称矩阵A与B等价.即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B.性质：等价矩

16、阵的秩相等.（2）相似矩阵：如果存在可逆矩阵P，使得,那么称A与B相似.性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹.（3）合同矩阵：如果存在可逆矩阵P，使得，那么称A与B合同.性质：合同矩阵的秩相等.向量空间1.线性组合（1）若α＝kβ，则称向量α与β成比例．（