ch2习题及答案

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1、2.12.22.3掷一枚硬币定义一个随机过程：设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：（1）的一维分布函数，；（2）的二维分布函数；（3）画出上述分布函数的图形。2.3解：（1）X(0.5)01P0.50.5X(1)-12P0.50.5一维分布为:(2)X(1)X(0.5)-1200.50100.5二维分布函数为2.4假定二进制数据序列{B(n),n=1,2,3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。试问，6（1）连续4位构成的串为{101

2、1}的概率是多少？（2）连续4位构成的串的平均串是什么？（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4解：解：（1）由题已知B(n,s)是贝努里随机序列，即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列，利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积，与数据是否连续并无关系，所以有：（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1,2,3,….其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。所以有：串（4bit数

3、据）为：，其矩特性为：因为随机变量的矩为：均值：方差：所以随机变量的矩为：均值：方差：如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：串方差：（3）因为有P[B(n)=0]=0.2，P[B(n)=1]=0.8，P[B(n)=1]>P[B(n)=0]可知出现概率最大的二进制数据为B(n)=1，又由独立性可得，概率达到最大的串为6（4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。所以如果见到1010后，下一位仍为0或1，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)

4、=1]=0.8。2.12.22.3设质点运动的位置如直线过程，其中与，并彼此独立。试问：（1）t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？（2）它是可预测的随机信号吗？2.7解：（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布所以它的一维概率密度函数为:(2)此信号是可预测随机信号2.4假定（-1,+1）的伯努利序列的取值具有等概特性。试问：（1）它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？（2）它是可预测的随机信号吗？2.8解：(1)(2)该随机信号不可预测2.52.6给定随机过程和常数，试以的自相关函数来表示差信号的自相关函数。2.

5、10解：由题意可得：62.1两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A与B为未知随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A、B与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，（1）两个随机信号的互相关函数；（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；题2.11解：（1）因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以，上式；（2）①如果E[A]或E[B]为0，则，随机信号X(t)与Y(t)正交；②因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以有，，，如果E[A]或E[B]为0，则，X(t)与Y(t)互不

6、相关；如果E[A]与E[B]均不为0，则，X(t)与Y(t)相关；综上，X(t)与Y(t)的正交性与互不相关性等价；③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。2.22.3假定正弦电压信号，其中，服从均匀分布，6服从均匀分布，它们彼此独立。如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。题2.13解：由电路原理的相关知识可知：总电流I为，则2.12.2零均值高斯信号的自相关函数为，求的一维和二维概率密度。题2.15解：(1)因为，，所以一维概率密度函数为：(2)高斯信号X(t

7、)的二维概率密度函数为：，t，，，为协方差，则2.32.42.5某高斯的均值，协方差，写出当、6和时的三维概率密度。题2.18解：由定义得：又因为设，t，，则2.1设随机变量，其中，，求的概率密度和特征函数。题2.19解：因为与，，而。于是，。则(X，Y)的概率密度函数为其特征函数为6