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1、实验七线性二次型指标最优控制系统设计一、实验目的1、学习线性二次型指标最优控制系统设计方法。2、完成线性二次型指标最优控制系统设计实践。二、相关知识最优控制系统是指在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务吋，系统的某种性能指标具有®优值。根据系统的不同用途，uj提出各种不同的性能指标，最优控制的设计就是选择最优控制以使某一种性能指标为最小(或者最优值)。在实际工程应用中，最优控制系统的性能指标通常采用二次型指标。对于状态完全能控的线性连续定常系统，其状态方程为补)=40+,x(0)=x0o其输出
2、方程为冲)=Cx{t)+Du(t),式中:x(t)为n维状态变量；u(t)为p维输入控制变量，且不受约束；A为nXn维状态矩阵，常数矩阵；B为nXp维输入矩阵，常数矩阵；C为mXn维输出矩阵，常数矩阵；D为mXp维输入矩阵，常数矩阵。y(t)为m维输出变量；引入的线性二次型(LinearQuadratic)指标为：式屮，积分上限为…，即调节吋I'Hjtf—oo;Q和R均为正定的对称常数矩阵，实际上分别是对状态量x(t)和控制量u(t)的加权矩阵。根据最优控制理论，使线性二次型指标J(式6.66)取
3、最小值的最优控制为:u(t)=-Kx(t)=-R]BrPx(t)式屮，为最优反馈增益矩阵；P矩阵为对称常数矩阵；P矩阵可通过求解代数黎卡提(Riccati)方程PA+AtP-PBR~^P+Q=0这时，最优性能指标为•1TJ=-xT(O)Px(O)可见，设计最优控制系统的重耍一步就是求解黎卡提(Riccati)方程。线性二次型指标状态反馈最优控制系统结构阁如阁所示。线性二次型指标J的最优性取决于如何确定加权矩阵Q和R，似这两个矩阵的选择并没冇解析方法，只能作定性的选择。一般情况下，对单输入系统，如果
4、希望输入控制信号u(tyh,则R矩阵的值选择大一些；对多输入系统，如果希望第i个输入控制信号Hi⑴小，则R矩阵第i列的值应该选择大一些。如果希望第j个状态变量Xj(t)的值小一些，那么和应的就应该把Q矩阵的第j元素取大点，这吋最优化功能会迫使该状态变量变小。系统最优控制"》为=式中，最优反馈增益矩阵+式中，对称常数矩阵P满足代数黎卡提(Riccati)方程PA+ATP-(PB+;V)/?"l(BTP+^T)+j2=0由此解出P矩阵，可得到系统的最优控制。_MATLAB提供了求解线性连续系统二次型状
5、态最优控制的函数。其函数是lqr()、lqr2()和lqry()。函数的调用格式为：[K，S，E]=lqr(A，B，Q，R，N)[K，S，E]=lqr2(A，B，Q，R，N)[K，S，E]=lqry(A，B，C，D，Q，R，N)其中A和B均对应系统状态方程屮的A和B矩阵；C和D均对应系统输出方程中的C和D矩阵；Q和R均对应线性二次型指标中的Q和R矩阵；N为二次型性能指标屮状态量x(t)和控制量u(t)的乘积项的加权矩阵；K和S均分别对应最优控制方程(式6.67)中的K和P矩阵；E为最优控制闭环系统
6、特征方程pt/-(A-B/Q
7、=O的特征值；函数lqr2()与lqr()矣似，只是在该函数屮采用了Schar方法，所以具有更强的稳健性。函数lqryG用来求解二次型输出反馈最优控制，是用输出反馈代替状态反馈，把最优控制方程变为=其性能指标为J=
8、JJ/(t)Qy(t)+m1这种二次型输出反馈控制叫做次优(或准最优)控制。另外，如果用输岀y实现反馈控制，则反馈中需要有微分环节，在工程上实现更麻烦些。三、实验内容"orVX=x+001■U试设计使系统线性二次型性能指R=l/2。取最小时的最优标＜/=去
9、)7［工1(’)&(’)+式中，Q=控制：(0,计算最优状态反馈矩阵K,両出状态反馈最优控制系统结构图。解：根据题意，计算最优状态反馈矩阵K,设计最优控制：⑺的MATLAB程序如下：A=[O,1;O,O];B=[O，1]’；％该语句的'号代表求矩阵转置C=[1,O];D=O;Q=[2J；1,4];R=l/2;[K，P，E]=lqr(A，B,Q,R)%计算并显示最优状态反馈矩阵K、P矩阵和特征值E上述程序执行后，计算出的最优状态反馈矩阵K为=3.4641]那么，使系统线性二次型性能指标J取最小的最优
10、挽制：(z)为(Z)=-2x,(r)-3.464lx2(z)另外,代数黎卡提(Riccati)方程的解P矩阵为P=2.464111.7321闭环系统特征方程的特征值为4=-2.7321,丰=-0.7321由G动控制理论，上述特扯值均再宥负实部，闭环系统是渐近稳定的。根据以上计算，可得到状态反馈最优控制系统结构阁如阁所示。2.设线性系统的状态方程为=■01■0'0~001x(，)+0-16■-9-12■1w(Z)，输出方程为'30000"'o'010x(t)+u2(t)+2xv(/)
