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1、实验八傅立叶变换一、实验目的利用MATLAB进行离散时间傅立叶变换；分析时域采样频率与频谱混叠：由离散序列恢复模拟信号。二、实验原理及实验内容无限长离散序列的傅立叶变换称为离散时间傅立叶变换，它的正逆变换的形式如下：/!=-«>f(n)=_[F⑽e声dco可见它在时域上是离散序列，而在频域上是连续函数，即具有连续的频谱。如果时域序列是有限K：的，并把它做周期延拓，它的频谱就向一些等间隔的点靠拢、随着延拓周期数的无限增加，其连续频谱就收敛于周期性的离散点，此时就要用离散傅立叶变换来处理。其一般规则如表所示表傅立叶变换一般规则时域信号(傅立叶反变挽)频谱曲
2、线(傅立叶变换)变换名称连续信号连续频谱傅立叶变换离散信号(有限样本点)周期性连续频谱离散时间傅立叶变换多周期离散信号连续频谱向离散点集中离散时间傅立叶变换周期性离散信号周期性离散频谱离散傅立叶变换周期性连续信号离散频谱傅立叶级数1.离散时间傅立叶变换取一个周期的正弦信号，作8点采样，求它的连续频谱。然后对该信号进行N个周期延拓，再求它的连续频谱，比较分析其结果。建模：为了求离散信号的连续频谱，不能直接用fft函数，可从离散傅立叶变换的定义出发。OO设置一系列较密频率点wi，就nJ求出一系列X(wi)=x*exp(-j*wi*n’)，因为x是行向量，n
3、’以及exp(-j*wi*n’)为同长的列向量，两者的量点乘就包含了逐项相乘后的连加演算，得出一个标ftX(wi),即该频点上的频率响应。不同的wi可用for循环来解决。但MATLAB中往往可以用元素群运算来代替一个for循环，为此把w也设成行向量，放在n’之后，n’*w及exp(-j*n’*w)就成为一个矩陈，其行数与x相同，列数与w的长度相同。用x左乘它以后，各列分别得出相应wi处的响应，最后得到X=x*exp(-j*n,*w)o注意：在此定义下的时间变量和频率变量都是无量纲的，要恢复其原来U纲，应把无麓纲时间n乘以采样周期Ts，而把无fi纲频率w
4、乘以采样频率Fs。程序：clc；clear；closeall%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%textl%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5n=[0:7];%%时间序列采样点x=sin(n*2*pi/length(n));%%8点采样正弦时间序列w=[-pi:2*pi/800:pi];%%离散频率点Xw=x*exp(-j*[1:length(x)]**w);%%运用离散傅里叶变换公式il•算频谱subplot(3,1,1),area(wzabs(Xw));%%画出幅频响h;/:坡充陶%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
5、%%NN=4;%%时间序列进行4个周期的延拓xl=[x,x,x,x];%%吋间序列进行4个周期的延拓Xwl=xl*exp(-j*[l:length(xl)]’*w)/NN;%%运用离散傅里叶变换公式计算频谱subplot(3,1,2),area(wzabs(Xwl));%%両出幅频响!、;/:塡充网%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Xw2=fftshift(fft(x));%%HlFFT求序列的DFT计算周期序列的频谱Xw2(9)=Xw2(1);%%构造M图参数nl=[-pi:pi/4:pi];subplot(3,1,3),stem
6、(nl,abs(Xw2));%%岡出幅频响Z、;/:火柴棍阎axis([-pi,pi,0,6])；%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%图形结果：6420-3-2-101236420-3-2-101231.时域采样频率与频谱混叠'⑴=Ae~atsin(Qoz)u(t)，A=444.128,仅=50^2^,Q()=50V2>r计算并图示么(z)及其•幅频特性函数IX/yQ)
7、o分别以采样频率/、.=10000Hz，400Hz对戈⑴进行等间隔采样，得到x(n)=(Hr)，T=l//、.为采样周期。
8、计算并图示三种采样频率下的采样信号x(n)及其幅频特性函数lx(e>)L^=lx(e，)l。观察x(^T)的周期性、周期以及频诺混叠程度与乂的关系。建模：对人⑴进行等间隔采样，得到x(/0=(^),T=l//v为采样周期。如果X/yQ)=Fnx/z)],WIJX(ejQT)=FT[x(n)]=X对W二+艺Xrt(y(Q-^))打=—00*n=—00*由以上关系式可见，采样信号的频谱函数是原模拟信号频谱函数的周期延拓，延拓周期为2;r/r。如果以频率/为自变量(Q=2;r/)，则以采样频率=l/r为延拓周期。对频带限于X的模拟信号么(Z),只有当乂22
9、乂.时，采样后才不会发生频谱混叠失真。这就是著名的采样定理。严格地讲，MATLAB无法计算连续
