近世代数练习题题库

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1、§1第一章基础知识1判断题:1.1设与都是非空集合,那么。()1.2A×B=B×A()1.3只要是到的一一映射,那么必有唯一的逆映射。()1.4如果是A到的一一映射,则[(a)]=a。()1.5集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。()1.6设、、都是非空集合,则到的每个映射都叫作二元运算。()1.7在整数集Z上,定义“”:ab=ab(a,b∈Z),则“”是Z的一个二元运算。()1.8整数的整除关系是Z的一个等价关系。()2填空题:2.1若A={0,1},则A´A=__________________________________。2.2设A={1,2},B={a,b}

2、,则A×B=_________________。2.3设={1,2,3}B={a,b},则AB=_______。2.4设A={1,2},则A´A=_____________________。2.5设集合;,则有。2.6如果是与间的一一映射,是的一个元,则。2.7设A={a1,a2,…a8},则A上不同的二元运算共有个。2.8设A、B是集合,

3、A

4、=

5、B

6、=3,则共可定义个从A到B的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射。2.9设A是n元集,B是m元集,那么A到B的映射共有____________个.2.10设A={a,b,c},则A到A的一一映射共有__________个.

7、2.11设A={a,b,c,d,e},则A的一一变换共有______个.2.12集合的元间的关系~叫做等价关系,如果~适合下列三个条件:_____________________________________________。2.13设A={a,b,c},那么A的所有不同的等价关系的个数为______________。2.14设~是集合的元间的一个等价关系,它决定的一个分类:是两个等价类。则______________。2.15设集合有一个分类,其中与是的两个类,如果,那么______________。2.16设A={1,2,3,4,5,6},规定A的等价关系~如下:a~

8、b2

9、a-b,那么A的所有不同的等价类是______________。2.17设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合,~是M上的合同关系,则由~给出M的所有不同的等价类的个数是______________。1.1在数域F上的所有n阶方阵的集合M(F)中,规定等价关系A~B秩(A)=秩(B),则这个等价关系决定的等价类有________个。1.2设M100(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100(F)中规定等价关系~如下:A~B秩(A)=秩(B),则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。1.3若M={有理数域上的所有3级方阵},A,BÎM,定义A~BÛ秩(

10、A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。2证明题:2.1设是集合A到B的一个映射,对于,规定关系“~”:.证明:“~”是A的一个等价关系.2.2在复数集C中规定关系“~”:.证明:“~”是C的一个等价关系.2.3在n阶矩阵的集合中规定关系“~”:.证明:“~”是的一个等价关系.2.4设“~”是集合A的一个关系,且满足:(1)对任意,有;(2)对任意,若就有.证明:“~”是A的一个等价关系.2.5设G是一个群,在G中规定关系“~”:存在于,使得.证明:“~”是G的一个等价关系.第二章群论1判断题:§2.1群的定义.1.1设非空集合

11、G关于一个乘法运算满足以下四条:(A)G对于这个乘法运算都是封闭的;(B)"a,b,cG,都有(ab)c=a(bc)成立;(C)存在G,使得"aG,都有ea=a成立;(D)"aG,都存在aG,使得aa=e成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。()1.1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:A)G对于这个乘法运算是封闭的;B)a,b,cG,都有(ab)c=a(bc)成立;C)存在eG,使得aG,都有ae=a成立;D)aG,都存在aG,使得aa=e成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。()1.2设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G对乘法运算是

12、封闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,则G构成群。()1.3设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1).G对乘法运算是封闭的;(2).乘法适合结合律与消去律,则G对所给的乘法构成一个群。()1.4实数集R关于数的乘法成群。()1.5若G是一个n阶群,aG,

13、a

14、表示a的阶,则

15、a

16、。()1.6若 

17、a

18、=2,

19、b

20、=7,ab=ba,则

21、ab

22、=14。1.7设Q为有理数集,在Q上定义二元运算“”,ab=a+b+ab()构成一个群。()§2.2变换群、置换群、循环群1.8一个集

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