数学思维的魅力

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1、数学思维的魅力九江学院谭毓澄tt_yycc@163.com目录◆前言◆乒乓球称重问题问题1问题2问题3◆分蛋糕问题问题1问题2问题3问题4◆结束语电影《美丽心灵》开头有一段台词：“是数学家赢得了世界大战,是数学家破解了日本密码，也是数学家发明了原子弹”。的确，数学给予人类巨大精神财富，数学也影响历史进程。2千多年来，欧几里德的《几何原本》一直是人类理性精神的典范。笛卡尔、费马、牛顿、莱布尼茨创立的微积分，宣告了西方科学黄金时代的到来。冯·诺依曼的计算机，维纳的控制论、仙农的信息论，将人类带入了航天飞行和手机普及的时代。就社会的个体而言，

2、数学也同等重要。有人说哲学是使人聪明的学问，我们可以说数学是使人智慧的学问，其实数学与哲学的关系非常密切。数学家B.Demollins说：没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。数学是关于思维的科学，有了数学我们的思维会变得高效、变得美妙。今晚我们将通过一些趣味问题的解决一起感受数学思维的魅力。一、乒乓球称重问题问题1现有10篓苹果，其中9篓大苹果，每个3两，1篓小苹果，每个2两，请用台秤称重1次找出这篓小苹果。方法：将10篓苹果依次编号为1，2，3，…，10，于是从1号篓

3、中取出1个苹果，2号篓中取2个苹，…，10号篓中取出10个苹果，一起共55个苹果称重。若全为大苹果，则重量应为55×3=165两，实际称重数字肯定比165小，设实际称重数字比165小k两,则第k篓苹果即为小苹果。问题2有5袋乒乓球，每袋单个球重分别为24，25，26，27，28（克/10)，若只能称重1次，而要分别出各袋球的单个重量，请给出一种称重方案。方法：将5个袋分别编号为1，2，3，4，5。现从1号袋中取出1个球，2号袋中取出5个球，3号袋中取出25个球，4号袋中取125个球，5号袋中取625个球，共取781个球。根据781个球称

4、重的结果就可以分析出各袋中单个球的重量。如各袋中单个小球重为编号为54321取球数6251252551再比如□□□□□54321已知781个球共重19166，问各袋中单个球重？19166-18744=422，422==于是可以断言1，2，3，4，5各袋中单个球重分别为24，27，25，28，26.上面做法用到了5进制，其实也可以用6进制，7进制，10进制等。问题2最容易理解的做法是采用100进制。按100进制称法，总重恰好是2427252826。问题3现有12个乒乓球，其中一个乒乓球质量不合格（比标准球轻或重），请用天平称三次，找出这个

5、质量不好的球。分析：称量一次最多能从几个球中找出不合格的球？结论：⑴若知道偏重或偏轻，则可从3个球中找出不合格的球；⑵若不知道是偏重还是偏轻，则只能从2个球中找出不合格的球，但需一个标准球。依据上面的分析，我们有下面的称法…...下面再从映射、信息角度来看待上述问题。天平称三次，每一次都有左重、左轻、平衡三种可能，称重3次可以反映27种信息。12个球中有一个不合格球，考虑偏重偏轻情况共有24种可能，提供的27种信息并未充分用上。前面已分析此问题中球的个数可增加至13个（26种可能）。若用排除法确定不合格球，则14个球中含不合格球恰好对应

6、27种情形，这是理论上的分析，实际要做到这点需借助另外的标准球。利用映射方法也可以帮助找到问题解决方案。记0表示平衡；-1表示左轻；1表示左重。将各种情形列出如下：1234567891011121314000依据上面排列可得12个球的称重方案：第1次第2次第3次此方案也可作为13个球的方案，三次均平衡时，13号球为不合格球。要得到14个球方案需增加1个标准球，记为，于是有第1次第2次第3次二、分蛋糕问题问题1一块蛋糕切4刀最多能切多少块（薄蛋糕）？切n刀呢？……+______________所以问题2一块蛋糕切3、4刀，最多能切多少块(

7、厚蛋糕）？n刀呢？切1、2、3刀结果是明显的，现在来看切4刀情形。每一刀是一个平面，要想切出最多块，当然第4个平面须与前面3个平面相交，相交部分为直线。如图每块彩色部分对应切3刀后的1小块，切第4刀后，每小块一分为2，故共有15块一般地，要想切出最多块，第n刀需与前面n-1刀相交，并经过前n-1刀切出的块，并将它们一分为二。记切n刀后所得最多块数为，则……+_____________________________于是规定:问题3现有2块薄蛋糕，能否一刀将2个蛋糕平分？追问：一刀能将3块厚蛋糕平分吗？这个结果的严格证明要用到拓扑学中波苏

8、克（Borsuk)-乌拉姆（Ulam)定理问题4如何公平地将一块蛋糕分配给2、3、…、n个人？两个人分蛋糕时，采用“我分你选”的算法，可以实现公平分配。（权力平衡亦或权力制约）60年代初，JohnSclfr