解三角形专题

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1、WORD文档可编辑www.ks5u.com解三角形专题一、基础知识：1、正弦定理：，其中为外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：变式：（1）①此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角当时，，即为锐角；当（勾股定理）时，，即为直角；当时，，即为钝角②观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出（2）此公式在已知和时

2、不需要计算出的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1）（为三角形的底，为对应的高）（2）（3）（为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：（5）向量方法：（其中为边所构成的向量，方向任意）证明：，而技术资料专业分享WORD文档可编辑坐标表示：，则4、三角形内角和（两角可表示另一角）。5、确定三角形要素的条件：（1）唯一确定的三角形：①已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角②已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出

3、剩余两角③两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边（2）不唯一确定的三角形①已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：②已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）6、解三角形

4、的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解7、三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则（知三求一）证明：在中①②为中点①②可得：技术资料专业分享WORD文档可编辑（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则证明：过作∥交于为的角平分线为等腰三角形而由可得：二、典型例题：例1：（1）的内角所对的边分别为，若，则_____（2））的内角所对的边分别为

5、，若，则_____思路：（1）由已知求可联想到使用正弦定理：代入可解得：。由可得：，所以答案：（2）由已知求可联想到使用正弦定理：代入可解得：，则或，由可得：，所以和均满足条件答案：或小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。例2：在中，，若的面积等于，则边长为_________思路：通过条件可想

6、到利用面积与求出另一条边，再利用余弦定理求出技术资料专业分享WORD文档可编辑即可解：答案：例3：（2012课标全国）已知分别为三个内角的对边，且有（1）求（2）若，且的面积为，求（1）思路：从等式入手，观察每一项关于齐次，考虑利用正弦定理边化角：，所涉及式子与关联较大，从而考虑换掉，展开化简后即可求出解：即或（舍）（2）思路：由（1）可得，再由，可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程，解出即可技术资料专业分享WORD文档可编辑解：可解得小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角

7、的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角例4：如图，在中，是边上的点，且，则的值为___________思路：求的值考虑把放入到三角形中，可选的三角形有和，在中，已知条件有两边，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出，从而中已知两边一角，可解出解：由可设则在中，在中，由正弦定理可得：小炼有话说：（1）

8、在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的），这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算例5：已知中，分别是角所对边的边长，若的面积为，且，则等于___________技术资料专业分享WORD文档可编辑思路：由已知可联想到余弦定理关于的内容，而，所以可以得到一个关于的式子，进而求出解：而代入可得：答案：例6：在中，内角所对的边分别为，已知的面