专题三、解三角形

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1、专题三、解三角形　　一、考点归纳　　1.理解并能推导正弦定理、余弦定理及三角形面积公式（两边夹角式），并能用其解决一些简单的三角形度量问题；　　2.熟练掌握三角形中的常用边角关系并能用其解决相关问题.　　二、知识点精讲　　以下a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，R为△ABC的外接圆的半径，r为△ABC的内切圆的半径.公式和定理中，可以进行轮换，即可将a，b，c分别换为b，c，a或c，a，b，相应角也同时轮换.　　1.正弦定理：===2R，　　变式一：=；=；=；　　变式二：sinA=，sinB=，sinC=，…　　变式三：a∶b∶c=sinA∶sinB∶

2、sinC；　　变式四：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；　　变式五：sinA=，sinB=，sinC=.　　2.余弦定理：　　a2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC.　　变式：cosA=；cosB=；cosC=.　　3.三角形面积公式：　　（1）S△=aha=bhb=chc（ha、hb、hc分别表示边a、b、c上的高）；8　　（2）S△=absinC=bcsinA=acsinB；　　变式：=ha=bsinC=csinB；S△=2R2sinAsinBsinC=.　　（3）S△=r（a+b

3、+c）=rp=　　（p=（a+b+c））.　　4.三角形中的常用边角关系：　　（1）等量关系：　　①角关系：A+B+C=，　　变式：A=-（B+C），=-，…　　推论：sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，tan（A+B）=-tanC，…　　sin=cos，cos=sin，tan=cot=，…　　②边角关系：正弦定理、余弦定理、勾股定理；　　投影定理a=bcosC+ccosB（了解）.　　（2）不等关系：　　①内角范围：A，B，C，A+B，B+C，C+A∈（0，）；　　变式：，，，，，∈（0，）；A-B∈（-，），…　　推论：0

4、osA≠±1；00；a+b>c>a-b；…　　③边角及其正余弦大小转化：cosA>cosBA

5、余弦定理求解：　　①已知三边求三角.满足三边大小关系才有解，有解必是唯一解；　　②已知两边和夹角，求第三边和另两角.有唯一解.　　6.判断三角形形状：　　一般要求根据条件判断是否为等腰（进而是否为等边）、是否为直角三角形，否则判断是钝角还是锐角三角形.判定时，一般利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式（特别要注意角的范围）.　　（1）确定最大角（两较小角必为锐角）并根据余弦定理判定（分母为正只看分子）.　　若最大角为A，则可判定如下：　　b2+c2=a2cosA=0A=90°△ABC为直角三形；　　b2+c2>a2cosA>0A<90°△ABC为锐角

6、三角形；　　b2+c290°△ABC为钝角三角形.　　（2）根据正弦定理得出边角关系判定：　　sinA=sinBa=b△ABC为等腰三角形，C为顶角；　　sinA=sinB=sinCa=b=c△ABC为等边三角形.　　（3）根据三角函数性质得出边角关系判定：　　cosA=cosB>0A=B△ABC为等腰三角形，C为顶角；8　　tanA=tanB>0A=B△ABC为等腰三角形，C为顶角；　　cosA=cosB=cosCA=B=C△ABC为等边三角形；　　cos2A=cos2B>0A=B△ABC△ABC为等腰三角形，C为顶角；　　sin2A=sin2B>0A=B或A+B

7、=△ABC为等腰或者直角三角形.　　三、例题精选及评析　　1.（2013年天津理）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（）　　A.B.　　C.D.　　解析：画示意图，条件即B=，c=，a=3，由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB得b=.　　再由正弦定理sinA===，答案为C.　　评析：一般用a，b，c表示边书写简单易记，结合图形辅助可避免出错，解三角形问题关键是正确选用正、余弦定理，知两边及夹角用余弦定理求出第三边，知两边及对角用正弦定理.　　2.（2013年陕西卷理）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bco