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1、向量——数学解题中的“多面手”：“平面向量”和“空间向量”已分别成为高中数学教科书中独立成章的内容，由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，所以向量在求函数的最值、平面几何、解析几何、立体几何、求三角函数值等方面的作用非同一般。 关键词：向量数学解题多面手 向量是既有大小又有方向的量，它在数学、物理学、工程学等很多领域都有广泛的应用。“平面向量”和“空间向量”已分别成为高中数学教科书中独立成章的内容，由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，既能反映对象间的数量关系，又能体现其位置关系，直观性好、有较大的自由度，因此它的引入
2、不仅给传统的中学数学内容注入了新的血液，也为解题方法和思路开辟了广阔的空间。下面就向量在求函数的最值、平面几何、立体几何等方面的利用价值，通过几个小例简要说明。 一、向量在求函数最值时的应用 （1）利用■·■≤■·■求函数的最值 例1:求函数y=3x+4■的最大值。 解:设■=（x，■），■=（3，4）则■=2，■=5，且■·■=3x+4■=y≤■·■=2×5=10。 当且仅当■与■同向时取等号，即■=?姿■（?姿>0）,亦即■=■得x=■时,y的最大值为10。 (2)利用■-■≤■±■≤■+■求函数的最值。 例2:函数
3、y=■-■的最大值是_____________。 解:y=■-■,设■=（x+1，5）,■=（x-2,2）则y=■-■且■-■=（3，3）、■-■=3■，由■-■≤■-■得y≤3■。 当且仅当■与■同向时取等号,即■=?姿■（?姿>0）,亦即(x+1,5)=λ(x-2,2)得x=4时,y取得最大值3■。 评注:巧用向量知识求函数的最值或值域，不但方法新颖，而且运算简捷，是启迪思维的有效途径之一。 二、向量在平面几何中的应用 平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义，因此在平面几何中也有较好的利用
4、价值。 例3:如图1，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P。求证：BP⊥DC。 ■ 图1 证明：设■=?姿■并设三角形ABC的边长为a，则有：■=■+■=?姿■+■■=?姿（■■-■）+■■=■（2?姿+1）■-?姿■。 ■=■-■■。 ∵■∥■，∴■（2?姿+1）■-?姿■=k■-■k■。 于是，有：■（2?姿+1）=k?姿=■k，解得，?姿=■。 ∴■=■■。 ∴■=■+■=■■+■■，■=■■-■ 从而■·■=（■■+■■）·（■■-■）=■a2-■a2-■a2cos
5、60°=0。于是，由向量垂直的充要条件知，BP⊥DC。 评注:用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,往往简单明了,少走弯路,同时避免了复杂、繁琐的运算和推理,可以收到事半功倍的效果。 三、向量在立体几何中的应用 近年来,在新教材改革中,空间向量引入到立体几何中,使几何常规问题坐标化、符号化、数量化，将复杂的推理转化为代数运算，从而降低了思维难度。在考察立体几何的试题中,计算夹角和距离往往是必考内容,如果用几何法来解,有时不容易找到所求量且很繁琐，若用向量法解之，则比较简便，一般无需添加辅助线，不仅降低了难度，而且简便
6、易懂。 例4：已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E、F分别为AB、BC的中点。求点D到平面PEF的距离。 ■ 图2 解：如图2，建立空间直角坐标系D-xyz，则P（0，0，1），E（1，1/2，0），F（1/2，1，0）。 设平面PEF的法向量为■=（x，y，z）,由■·■=0?圯x+■y-z=0■·■=0?圯■x+y-z=0得x=y=■z 令x=1,则■=（0，0，1）d=■=■■。 又■=（0，0，1）,则点D到平面PEF的距离=■=■■。 评注:解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键
7、”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直，两向量所成的角可以解决求空间两异面直线、直线与平面所成角以及二面角等问题，向量的模的求法可以解决求线段的长度问题，向量的投影的求法可以解决求点面距、线面距、面面距等问题。简单地说，合理地运用向量知识解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换、严密的几何推理论证，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。 通过以上几个例子不难看出，向量在数学中有着广泛的应用，向量及其代数运算可以刻画几何对
8、象以及几何度量问题，可以表示三角函数、证明三角函数的公式，还可以表示重要的不等式。此外，向量是新教材增加的内容，无论是对于教师还是学生都是新的。作为学生，接触到新的内容，不仅增大了知识的容量，而且由于立足于向量这一新的视
