高等数学公式定理整理

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1、高等数学公式定理整理1.01版本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。蓝色为定理红色为公式三角函数恒等公式：两角和差和差化积积化和差倍角公式（部分）：很重要！一、函数函数的特性：1.有界性：假设函数在D上有定义，如果存在正数M，使得对于任何的x∈D都满足

2、f(x)

3、≤M。则称f（x）是D的有界函数。如果正数M不存在，则称这个函数是D上的无界函数。1.单调性设f（x）的定义域为D，区间ID。X1，x2∈I，那么，如果x1x2,那么就是单调减少函数。2.奇偶性如果f(

4、-x)=f(x),那就成为偶函数，如果f(-x)=-f(x)，那就是奇函数。3.周期性设函数的定义域为D，若存在不为零的数T，使得任一x∈D有（x±T）∈D，且f（x±T）=f（x）总是成立，就称该函数为周期函数，如sinx，cosx，它们就是以2π为周期的周期函数。反函数：就是用自变量X来表示原函数Y，如下列式子：原函数f(x)=x+5，它的反函数为x=f(x)-5,也就是f（x）=x-5；复合函数和初等函数：重要！：六个基本初等函数是：幂函数（xa）,指数函数（ax），对数函数（logax，lgx【log10x】，lnx【l

5、ogex】），三角函数（sinx，cosx，tanx，ctnx，secx，cscx），反三角函数（常见反三角函数为arcsinx，arccosx，arctanx）复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。一、极限与连续极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用limx→x0f（x）=A如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。并且左右极限相等。极限运算法则limx→x0[f（x）±g(x)]=limx→x0f（x）±limx→x0g（x）=A±Blim

6、x→x0[cf（x）]=climx→x0f（x）=cAlimx→x0f（x）·limx→x0g（x）=limx→x0f（x）·g（x）=A·B=（B≠0）重要！：两个重要极限1.夹逼准则如果xn，yn，zn满足xn≤yn≤zn那么这就是夹逼准则。2.图1如图1，∠AOC=x（0

7、BD

8、=x，弧BC=x，

9、CA

10、=tanx且△OBC面积＜扇形OBC面积＜△AOC面积，于是有：化简两边同时除以sinx根据夹逼准则得出所以1.（这是标准公式，题目有类似的把它转换成标准公式即可）1.无穷大量和无穷小量（1）性质1，无

11、穷小量和有界函数的积仍为无穷小量（2）性质2，两个无穷小量之积仍为无穷小量（3）性质3，两个无穷小量的代数和仍为无穷小量定理1，在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。定理2，b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o（a）定理3,设a~a’,b~b’，且limb’/a’存在，则lima/b=lima’/b’。无穷小量的比较：其中等价无穷小可运用到极限运算中（加减关系不能用，乘除关系可以用，且x趋于0）等价公式：当x→0时，sinx~x，tanx~x，　arcsinx~x，arctanx~x

12、，1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1，（a^x）-1~x*lna(（a^x-1)/x~lna)，（e^x）-1~x，ln(1+x)~x，(1+Bx)a-1~aBx，[(1+x)1/n]-1~（1/n）*x，loga(1+x)~x/lna，（1+x)a-1~ax(a≠0)，5.连续定义设函数f（x）在x0的某个去心邻域内有定义，若lim（△x→0）△y=0，则称函数f（x）在x0这个点连续。条件：（1）f（x0）有定义，有数值；（2）lim（x→x0）有极限，（3）且左右极限相等；才连续。左右连续和左右极限相同，如

13、图：就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。（1）间断点根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。跳跃间断点：左右极限存在却不相等，在该点有（无）定义。震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。闭区间连续函数的性质：1、[a,b]区间里连续函数，必定存在最小值和最大值；2、函数f（x）在[a,b]区间连续，则在[a,b]必定有界；3、若函数f(x)在[a,b]连续，且f(a)=A,f(b)=B,又A≠B，C是介于A，B的一个值，则必定存

14、在一个点ξ，使得f（ξ）=C；4、若函数f(x)在[a,b]连续，且f(a)，f(b)异号，则一定存在一个x0∈（a，b），使得f（x0）=0；一、导数导数的几何意义就是f(x)在x点函数的切线的斜率；求某一点的导数连续不一定可导，可导一定连续；导数的求导公式：