高一数学竞赛试题及答案

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1、高一数学竞赛试题及答案时间：2016/3/18注意：本试卷均为解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.1.（本小题满分15分）设集合，（1）若求的值；（2）若,求的取值范围；（3）若,求的取值范围.2.（本小题满分15分）设（1）求证：（2）为单调函数时，是否有？请说明理由.高一数学竞赛试题第14页共14页3．（本小题满分15分）已知函数在有最大值5，求实数的值．高一数学竞赛试题第14页共14页4．（本小题满分15分）已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在

2、闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上根的个数，并证明你的结论．高一数学竞赛试题第14页共14页5．（本小题满分15分）已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，，求的取值范围.高一数学竞赛试题第14页共14页6．（本小题满分15分）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，。（1）证明：；（2）求二面角的大小。高一数学竞赛试题第14页共14页7．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函

3、数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．高一数学竞赛试题第14页共14页8．（本小题满分20分）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0，]都有且f（1）=a＞0．（Ⅰ）（Ⅱ）证明是周期函数；（Ⅲ）记求高一数学竞赛试题第14页共14页9．（本小题满分20分）设是R上的奇函数，且当时，，.（1）若，求的解析式；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）

4、若的值域为，求的取值范围.高一数学竞赛试题第14页共14页高一数学竞赛试题参考答案1、解：（1）∵∴即，，解得①当时，②当时，综上（2）∵∴①当时，则该一元二次方程无解，即△<0，∴，即②当时，则该一元二次方程有解，即△≥0，即1.当时，2.当时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2∴，即，即（舍）,∴综上（3）∵∴①当△<0时，即，，满足要求②当△=0时，即，，，舍③当△>0时，即，所以只需将1代入方程中得;将2代入方程中得所以综上，的取值范围为高一数学竞赛试题第14页共14页2、3、解：令，则，从而令，由题意知在有最大值5.当时，在时有最

5、大值5，故符合条件；当时，，矛盾！当时，，矛盾！综上所述，所求的实数．4、解　(1)若y＝f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(2－(x＋2))＝f(2＋(x＋2))＝f(4＋x)＝f(x)，∴f(7)＝f(3)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，高一数学竞赛试题第14页共14页只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函数．若y＝f(x)为奇函数，则f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，这些f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是奇函数．综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函

6、数．(2)∵f(x)＝f[2＋(x－2)]＝f[2－(x－2)]＝f(4－x)，f(x)＝f[7＋(x－7)]＝f(7－(x－7))＝f(14－x)，∴f(14－x)＝f(4－x)，即f[10＋(x－4)]＝f(4－x)∴f(x＋10)＝f(x)，即函数f(x)的周期为10.又∵f(1)＝f(3)＝0，∴f(1)＝f(1＋10n)＝0(n∈Z)，f(3)＝f(3＋10n)＝0(n∈Z)，即x＝1＋10n和x＝3＋10n(n∈Z)均是方程f(x)＝0的根．由－2011≤1＋10n≤2011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±201，共4

7、03个；由－2011≤3＋10n≤2011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402个；所以方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上的根共有805个．5、解：设，则的二根为和.（1）由及，可得，即，即两式相加得，所以，;（2）由,可得.又，所以同号.∴，等价于或,即或高一数学竞赛试题第14页共14页解之得或.6、【解析】（1）在中，得：同理：得：面（2）面取的中点，过点作于点，连接，面面面得：点与点重合且是二面角的平面角设，则，既二面角的大小为7、【解答】(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令

8、f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与