正边形外接圆上一点到各顶点距离关系

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1、正邊形外接圓上一點到各頂點的距離關係王啟光國立臺灣師大附中先從一個正三角形外接圓上一點的性質說起：若P在正三角形ABC外接圓的劣弧AC上，則有.如圖：其證明可以利用旋轉或是托勒密(Ptomely)定理來得到。如圖，作出以A為心，AP為半徑的圓；延長CP與圓交於另一點D,那麼ΔABP和ΔACD全等，(實際上這步驟就是將ΔABP旋轉60°成為ΔACD)。於是ΔAPD是正三角形，,故得證。另外，如果對圓內接四邊形ABCP使用托勒密定理，會有因為正三角形三邊等長，所以得到.-6-接下來希望能把這個性質推廣到

2、正多邊形，於是先觀察正方形的狀況。如果將P點選取為A點，顯然此時,並不會有相等的狀況，所以正方形不符合我們的期待。如果是正五邊形呢？假定P在正五邊形ABCDE外接圓的劣弧AE上，則希望能證明出.證明可以模仿正三角形的情形：將ΔABP旋轉成ΔAEF,並且將ΔACP旋轉成ΔADG,連接AG和PF交於H,那麼有,,,計算角度知道以及,就知道,於是且,,命題得證。或是另用托勒密定理證明如下：令,,-6-分別在四邊形ABCD、PABC、PBCD以及PCDE用托勒密定理得到,,,,於是,故得證。那麼對於正六邊形

3、呢？如同正方形，我們將P點選取為其中一個頂點就不成立了。於是猜測邊數為奇數才成立，也就是想證明底下這個定理：【定理】若為正邊形，P為其外接圓劣弧上一點，則.【證明】設此正邊形在單位圓上，並令,,讓所代表的複數為,那麼我們知道這些為的個複數根。再設P所代表的複數為,其中,則於是計算-6-,再令,,那麼為的個複數根，故.特別地，虛部,這就是欲證之式。從證明的過程中也可以知道，如果是正2n邊形時，,去計算的時候，在關鍵步驟將不能轉化為,故此定理對於正2n邊形不成立。應用上述定理，可以得到一個結果：設P為圓

4、O內部一點，過P有m條弦，相鄰兩條弦所夾銳角都是,而這m條弦在圓周上的端點依序為;若為大於1的奇數，則.以的情形為例，圖中五條實線段與五條虛線段的長度和相等。-6-接下來證明的時候，也先證明的情形比較容易了解。取各弦的中點，這些中點會在以OP為直徑的圓上，由圓周角的性質知相鄰兩點在圓周上的弧度都是,故這五個中點構成正五邊形。為方便起見，令從P逆時針繞圓所碰到的點依序為,由上述定理得;再令以為中點的弦端點中離P較近者為,其餘各端點依逆時針序為,那麼P就會介於和()之間。欲證.故得證的情形。一般情況令,

5、同樣取各弦的中點，這些中點會在以OP為直徑的圓上，由圓周角的性質知相鄰兩點在圓周上的弧度都是,故這m個中點構成正m邊形。接著令從P逆時針繞圓所碰到的點依序為,再令以為中點的弦端點中離P較近者為,其餘各端點依逆時針序為,那麼P就會介於和()之間。-6-欲證,由前述定理得證命題成立。-6-