求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

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1、求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'则△BPP'，△BCC'均为等边三角形所以PB=PP'，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'（2，-2√3）所以AC'=√[（0-2）²+（3+2√3）²

2、]=√（25+12√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x 由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得x=6，AD=8，DC=15以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'则△CPP'，△CBB'均

3、为等边三角形所以PC=PP'，PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'（9/2，-21√3/2）所以AB'=√[（0-9/2）²+（8+21√3/2）²]=√（415+168√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）.【 补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。证明：∵A

4、F=AB，∠FAC=∠BAE，AC=AE∴△AFC≌ABE∴CF=BE同理可证△BCF≌BDA，CF=AD∴AD=BE=CF. ∵△AFC≌ABE∴∠AFC=∠ABE∴∠BPF=∠BAF=60°，∠BPC=120° 同理可证∠APB=∠APC=120° ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。（2）给出三个点，怎样用尺规作图，使某一点P到这三点的距离之和最短解：如果三个点在同一直线上，P点为居中的那个点如果三个点能组成三角形，这里的点P就是著名的“费马点”这时的一般结论是：当三角形有一个内角大于或等于120度的

5、时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都小于120度，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。作法：设三点为A、B、C1、作等边三角形ABD、等边三角形ACE2、作上述两个三角形的外接圆，两圆交于点P则P即为拟求作的点