小学奥数《容斥原理》(同步语音)

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1、小学数学容斥原理容斥原理在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理(第一讲)一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?15+12-4=23(人)数学语文15412数学和语文容斥原理上题中语文满分人数是

2、12,数学满分人数是15,一门满分的人数应该是27,但我们重复计算了语文数学都是满分人数4,所以应该减去4,答案就是23结论:(公式一)如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类或B类事物个数=A类事物个数+B类事物个数—既是A类又是B类的事物个数。某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种,已知家中有空调的有41人,有电脑的有34人,二者都有的有27人,这个班有学生多少人?41+34-27=48人412734试一试:一个班有45名学生,订阅《小学生数学报》的有15人,订阅《今日少年报》的有

3、10人,两种报纸都订阅的有6人。(1)订阅报纸的总人数是多少?15+10-6=19人15610(2)两种报纸都没订阅的有多少人?45-19=26人容斥原理在1到1000的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?不能被3或5整除的数共有多少个?能被3整除的个数:1000÷3=333个···1能被5整除的个数:1000÷5=200个能被3和5整除的个数:1000÷15=66个···10所以根据容斥原理,能被3或5整除的数共有:333+200-66=467个不能被3或5整除的个数:1000-467=5

4、33个试一试:某校选出50名学生参加区作文比赛和数学竞赛,作文比赛获奖的有16人,数学比赛获奖的有12人,有5人两项比赛都获奖了。(1)共有多少人获奖?16+12-5=23人(2)两项比赛都没获奖的有多少人?50-23=27人试一试:习题1、四(1)班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加航模小组,有19个人两个小组都参加了,那么,有多少人两个小组都没有参加?25+23-19=29人40-29=11人2、有100位旅客,其中有10人既不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂俄语,问

5、既懂英语又懂俄语的有多少人?100-10=90人75+83=158人158-90=68人3、在一次数学测验中,所有同学都答了第1、2两题,其中答对第1题的有35人,答对第2题的有28人,这两题都答对的有20人,没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验?35+28-20=42人4、一个俱乐部里,会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人,都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人?69+52-30=91人91+12=103人5、全班有50人,不会骑车的有23人,

6、不会滑旱冰的有35人,两样都会的有5人。问:两样都不会的有多少人?50-5=45人23+35-45=15人6、六年级(2)班有48名学生,其中会骑自行车的有27个,会游泳的有18人,既会骑自行车又会游泳的有10人。问两样都不会的有多少人?27+18-10=35人48-35=13人容斥原理(第二讲)某校六(1)班,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有34人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有18人,排球、游泳都参加的有14人,三

7、项都参加的有8人,这个班有多少人?25+22+34-12-18-14+8=45人足球排球游泳如果我们用这七个字母分别代表各字母所在区域的学生人数,那么根据题意,我们有以下七条等式:(1)A+D+E+G=25;(2)B+D+F+G=34;(3)C+E+F+G=22;(4)D+G=18;(5)E+G=12;(6)F+G=14;(7)G=8。现在我们要求的是A+B+C+D+E+F+G=?。如何利用以上资料求得答案?我们利用等式的性质来试试看.把头三条等式加起来,我们得到A+B+C+2D+2E+2F+3

8、G=81。可是这结果包含了多余的D、E、F和G,必须设法把多余的部分减去。由于等式(4)-(6)各有一个D、E和F,若从上述结果减去这三条等式,便可以把多余的D、E和F减去,得A+B+C+D+E+F=37。可是这么一来,本来重复重现的G却变被完全减去了,所以最后还得把等式(7)加上去,得最终结果为A+B+C+D+E+F+G=45,即该班共有45名学生。结论(公式二)如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类或B类或C类事物个数=A类事物个数+B类事物个数+C类事物个数—既是A类又是B类的事物个

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