小学奥数之容斥原理

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1、五.容斥原理问题1.有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是()A43,25B32,25C32,15D43,11解:根据容斥原理最小值68+43-100=11最大值就是含铁的有43种2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一

2、半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()A,5B,6C,7D,8解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①由(2)知:a2+a23=(a3+五.容斥原理问题1.有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大

3、值和最小值分别是()A43,25B32,25C32,15D43,11解:根据容斥原理最小值68+43-100=11最大值就是含铁的有43种2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()A,5B,6C,7D,8解:根据“每个人至少答出三题中的

4、一道题”可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①由(2)知:a2+a23=(a3+a23)×2……②由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③由(4)知:a1=a2+a3……④再由②得a23=a2-a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥然后将④⑤⑥代入①中

5、,整理得到a2×4+a3=26由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解:当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。故只解出第二题的学生人数a2=6人。3.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对

6、三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少?答案:及格率至少为71%。假设一共有100人考试100-95=5100-80=20100-79=21100-74=26100-85=155+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)87÷3=29(表示5题中有3题做错的最多人数,即不及格的人数最多为29人)100-29=71(及格的最少人数,其实都是全对的)及格率至少为71%六.抽屉原理、奇偶性问题1.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,问最少要摸出几只手

7、套才能保证有3副同色的?解:可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有一副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有一副手套是同色的,以此类推。把四种颜色看做4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有1副是同色的。以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有:

8、5+2+2=9(只)答:最少要摸出9只手套,才能保证有3副同色的。2.有四种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人去取,才能保证有3人能取得完全一样?答案为21解:每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.3.某盒子内装50只球,其中10只是红色,10只是绿色,10只是黄色,10只

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