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1、第7章控制系统的状态空间设计法状态空间设计法是一类以系统状态空间模型（即状态空间表示式）为基础的设计方法；其任务在于设计控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标要求都得到满足。MATLAB环境最适于矩阵运算，这使得进行状态空间设计非常方便，本节将详细讨论控制系统的状态空间设计问题并给出MATLAB实现。7.1极点配置线性系统的动态性能，如系统稳定性，时域分析中的超调量、过渡时间等指标，主要取决于系统的极点位置。因此，作为系统性能指标的一种形式，往往是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。极点配置问题，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环
2、系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。7.1.1单输入系统的极点配置对于SISO系统来说，极点配置问题描述如下：设控制系统的状态方程模型为(7-1)当引入状态反馈后，系统的控制信号为，这里是系统外部的输入；是行向量，称为反馈矩阵；此时闭环系统状态方程模型为：(7-2)可以证明，当系统状态完全可控时，则可以通过状态反馈将系统的极点配置到复平面的任何位置。极点配置有两种方法：第一种方法是采用变换矩阵，使系统具有期望的极点，从而求出矩阵；第二种方法基于Caylay-Hamilton理论，通过矩阵特征多项式，可求出（这种方法称为Ackermann公式）。1、
3、矩阵变换法第1步：系统通过状态反馈成立(7-3)(7-4)式中，为期望的闭环极点（实数极点或共轭复数极点）。若完全能控，必存在非奇异变换(7-5)式中(7-6)其中，为可控性矩阵阵定义为能将化成能控标准I型(7-7)式中加入状态反馈增益阵(7-8)可求得对的闭环状态方程表达式(7-9)式中闭环特征多项式为（7-10）使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足由等式两边同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各系数(7-11)于是得最后，把对应于的，通过如下变换，得到对应于状态的K。(7-12)这是由于的缘故。以上为极点配置的理论基础，因此，用MATLAB进行极点配置的步骤为:第1步检查系
4、统的可控性，当时系统可控；在MATLAB中可用rank(ctrb(A,b))实现；第2步确定系统矩阵A的特征多项式系数在MATLAB中，可用poly函数实现；第3步确定变换矩阵Tcam为能控性判别矩阵，在MATLAB中可用ctrb(a,b)实现，w在MATLAB中可用hankel()函数来实现。第4步确定期望特征多项式系数第5步求增益矩阵2、Ackermann公式由上面讨论知，闭环系统特征方程为由此定义则对系统矩阵有根据Cayley-Hamilton理论，成立，即将代入，可得在MATLAB中，可很方便地利用上述两种方法进行极点配置设计，但利用MATLAB控制系统工具箱提供的pl
5、ace和acker函数进行极点配置设计，可免去繁琐的过程，因此一般可直接采用这两个函数进行设计。功能：SISO极点配置格式：K=acker(a,b,p)说明：acker函数利用Ackermann公式计算反馈增益矩阵K，使采用全反馈的单输入系统具有指定的闭环极点，即3、acker函数4、place函数4、place函数功能：MIMO极点配置格式：K=place(A,B,p)[K,prec,message]=place(A,B,p)说明：place函数利用Ackermann公式计算反馈增益矩阵K，使采用全反馈的多输入多输出系统具有指定的闭环极点，即[K,prec,message]=
6、place(A,B,p)同时返回系统闭环极点与希望极点p的接近程度prec。prec中的每个量的值为匹配的位数。如果系统闭环极点的实际极点偏离希望极点10%以上，则message将给出警告信息。系统可任意极点配置的前提条件是系统必须可控，在进行极点配置前必须判断系统的可控性，判别系统可控性程序如下functionm=controllble(a,b)nc=rank(ctrb(a,b));%求可控矩阵的秩，ctrb(a,b)为系统的可控矩阵n=length(a);ifn==nc%判断系统可控矩阵是否满秩flagc='systemiscompletelystatecontrollab
7、le'm=1;elseflagc='systemisnotcompletelystatecontrollable'm=0;end例7-1已知系统的传递函数为希望极点为，试设计状态反馈矩阵。下面由命令行分别作两种方法的极点配置计算，即矩阵变换法与Ackermann极点配置算法。7.1.2极点配置实例分析1、矩阵变换法程序num=[1];den=[118720];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);m=controllble(a,b);%判别系统的能控性。ifm==1%系统满秩，系
