第4讲线性微分方程解的结构

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第四讲线性微分方程解的结构脚本编写：彭亚新教案制作：彭亚新第七章常微分方程本章学习要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程。熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.知道下列高阶方程的降阶法：了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐次线性微分方程的解法.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函

2、数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.1.二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构2.二阶线性非齐次微分方程解的结构3.n阶线性微分方程解的结构第四节高阶线性微分方程的一般理论1.二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构二阶线性微分方程的一般形式为通常称(2)为(1)的相对应的齐次方程。二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构（1）叠加原理（2）线性无关、线性相关（3）朗斯基(Wronsky)行列式（4）二阶线性齐次微分方程解的结构（5）刘维尔公式1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解，你打算怎么证明这

3、个原理？证的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解。推广在什么情况下，叠加所得可以成为方程(2)的通解？(2)线性无关、线性相关?例证由三角函数知识可知，这是不可能的，故（3）朗斯基(Wronsky)行列式例（4）二阶线性齐次微分方程解的结构定理1的两个线性无关的解，则是方程(2)的通解。定理2例解又容易看出：而由叠加原理，原方程的通解为问题：该问题的解决归功于数学家刘维尔。代入方程中，得怎么做？关于z的一阶线性方程即故有两边积分，得关于z的一阶线性方程（5）刘维尔公式为原方程的通解。则例解由刘维尔公式故原方程的通解为2.二阶线性非齐次微分方程解的结构(1)解的性质

4、(1)解的性质性质1的一个特解，则是原方程的一个特解。性质2是其对应的齐次方程的一个特解。性质3的一个特解，则是方程的一个特解。性质4的一个特解。可以直接验证性质1——性质4。如何求特解？定理3的通解，则是方程(1)的通解。由性质1以及通解的概念立即可以得知该定理成立。常数变易法常数变易法常数变易法则有令以下推导的前提于是对上式两边关于x求导，得这两部分为零。即联立(3)、(4)构成方程组解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到例解该方程所对应的齐方程为它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为由常数变易法，解方程组两边积分，取积分常数为零，得两边积分，

5、取积分常数为零，得故原方程有一特解从而，原方程的通解为在这一节中所讲述的理论均可推广到n阶线性微分方程中去。参考书：北京大学、复旦大学、中山大学等编写的《常微分方程》教材n阶线性方程的一般形式为3.n阶线性微分方程解的结构我们所讨论二阶线性方程的一般理论的结论可自然推广至n阶线性方程中。