概率论与数理统计ch2-1

《概率论与数理统计ch2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布一、随机变量的概念在随机现象中，很多随机试验的结果与数值直接发生联系.例如◆在产品检验问题中，质量检验员关心的是抽样中出现的次品数；◆候车问题中乘客所关心的是他在车站的候车时间等等.◆在投硬币问题中，出现的结果为正面或反面：当出现正面时记为“1”，而出现反面时记为“0”.这些例子中，试验的结果能用一个数来表示，这个数是随着试验结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，以后我们就称这种变量为随机变量.随机变量严格的数学定义如下：定义2.1.1设，ℱ，是一给定的概率空间，是一个定义于样本空间上的单值实函数，若对于任一实数，是一随机事件，即ℱ

2、，则称为一个随机变量.在不致产生误会的情况下，常常略去，把简记为.随机变量常用大写英文字母（或希腊字母.）等表示.随机变量实质上是在试验结果与实数值之间的一种对应.它作为试验结果的函数与微积分中定义的函数是有所有区别的.随机变量作为函数，其自变量不是实数，而是试验结果，即样本点.所以它的定义域是样本空间.定义了随机变量后，我们可以用它来描述随机试验下的一系列随机事件.设为一随机变量，对任给实数a和b，的子集是一随机事件，为方便常将该事件简记为.它表示“随机变量的值落在区间中”这一事件.35类似地,等都是随机事件.而表示不可能事件,表示必然事件.设区间与无公共点,则事件与互不相容.特别地

3、,与为互逆事件.若,则与互不相容.例2.1.1从含有4件次品的9件产品中任意取3件，若以X表示取出的3件产品中的次品数，则X是一个随机变量，事件{取出的3件产品中有2件次品}就可以简单地表示为{}，事件{取出的3件产品中的次品数小于2件}就可以表示为{}.次品数X的所有可能取值为0，1，2，3，且取这些数值的概率:，此式完整地描述了此问题的抽样试验模型.随机变量的分类：如果随机变量X的所有取值能够一一列举出来，那么称X是离散型随机变量；否则称X为非离散型随机变量.例如：产品抽样试验中的次品数X，电话交换机在单位时间内来到的呼叫次数Y等都是离散型随机变量；而候车问题中乘客的候车时间不是离

4、散型随机变量.非离散型随机变量中的一类——连续型随机变量.二、随机变量的分布函数1.分布函数的定义定义2.1.2设是一随机变量，对任意实数，称（2.1.1）为随机变量的分布函数.35即为随机变量落在区间内的概率.不难看出，对任意给定的实数有（2.1.2）事实上，因事件，而事件与互不相容，由概率的有限可加性即得（2.1.2）式.例2.1.2设随机变量只取两个值0，1，且，，求X的分布函数.2.分布函数的性质分布函数具有下列性质：（1）是非负、有界函数，即；（2）是单调不减函数，即若，则；（3），；（4）是左连续函数，即=.知道了随机变量的分布函数为，则下述概率可由分布函数计算出来：（2.

5、1.3）（2.1.4）（2.1.5）35（2.1.6）　　有时将随机变量的分布函数记为.§2.2离散型随机变量的分布一、离散型随机变量的分布列离散型随机变量的可能取值是可以一一列举的，因而掌握它的变化规律，首先要了解它可能取哪些值，其次要知道它取这些值的概率.定义2.2.1设x1,x2,x3,…为离散型随机变量的所有可能取值，记（2.2.1）则称（2.2.1）式为随机变量的分布列（或的概率分布）.分布列也常常用表格形式给出：～或Xx1x2x3…Pp1p2p3…离散型随机变量分布列的性质：（1）非负性，；(2.2.2)（2）正规性，.(2.2.3)例如例2.1.1中次品数X的分布列为X0

6、1230.11910.47620.35710.0476分布列不仅可以给出随机变量取单点值的概率，而且由于由概率的可列可加性，有(2.2.4)更一般地，对于集合I，有35(2.2.5)特别地，我们得离散型随机变量的分布列与其分布函数之间的关系式（2.2.6）它是一个在处有跃度的左连续的阶梯函数.可见离散型随机变量的统计规律完全由它的分布列来确定.二、常用离散型分布在实际中，常用的离散型分布有0―1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布等.1.（0―1）分布如果随机变量X的分布列为，其中则称X服从参数为的（0―1）分布.例如，在新生婴儿性别的研究中，表示一个新生儿中女婴的个数，有研

7、究者给出了的分布列为.又如，一个篮球运动员投篮，已知以往他投篮的命中率为0.7，若用Ｘ表示他一次投篮命中的次数，则X的分布列为.2.二项分布在重贝努里试验中，若设每一次试验中为次试验中出现的次数，则是一个离散型随机变量，其分布列为(2.2.7)称服从参数为的二项分布，记作～.容易验证：（1）；（2）.35特别地，当时的二项分布即为（0―1）分布.例2.2.1若在N件产品中有M件次品，现在进行次有放回抽样检查，问共抽得件次品的概率是多少？解由于抽