60曲面及其方程

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1、60曲面及其方程常用二次曲面的方程及其图形1、球面设是球心，R是半径，是球面上任一点，则，即2、椭球面3、旋转曲面设L是x0z平面上一条曲线，L绕z旋转一周所得旋转曲面：得例1、称为旋转抛物面旋转双曲面：，(单)4、椭圆抛物面5、单叶双曲面6、双叶双曲面7、二次锥面圆锥面8、柱面抛物柱面椭圆柱面圆柱面60空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲）一般式曲线在三坐标面上投影方程在x0y面上投影曲线方程：在中消去z，再与z=0联立。多元函数微分学10二元函数及其极限与连续1、，定义域为平面上某一个平面域几何上为空间一张曲面。2、二元函数极限P186例1、讨论

2、函数极限是否存在。解：而∴在(0,0)极限不存在.3、连续P18720多元函数的偏导数与全微分1、偏导数定义：处对x的偏导数，记作：即：同理：存在，称可导。例1、解：例2、P188，例5，6设解：2、高阶偏导数连续，则3、全微分如可微全微分↗可导↘连续偏导数连续→可微例3、设则例4、由方程确定在点全微分30复合函数微分法定理：P194z=f(u.v)u=u(x.y.)v=v(x.y)z=f(u,v)=F(x.y),例5、P195，例5.14设z=(1+x2+y2)xy求解：例5.15解，例7、，其中可微，则例8、,可微，则例9、设，求证证：令则例10、设，其

3、中二阶可导，具有二阶连续偏导数。求解：例11、设，试将方程变换成以,为自变量的方程，其中函数具有二阶连续偏导数。解：∴于是方程变为：40隐函数求导确定了求(1)方程两边同时对求导，注意，可求得方程两边同时对求导，注意，可求得(2)利用公式(3)两边微分用(2)，(3)需具体方程给出，容易例12、设由方程，求解法一、在方程两边对x求导，注意解法二、设解法三、在方程两边微分即∴例13、设由方程确定，其中可微则例14、已知方程定义了，求解：（或方程两边对求导，注意）在方程两边对求导，在(1)式两边对x求导法二：∴例15、习题7设，，，其中，都具有一阶连续偏导数，且

4、，求解：在，两边对求导，设例16、P200，例：5.2050一阶偏导数在几何上的应用1、空间曲线的切线与法平面曲线L：（Ⅰ）（Ⅱ）曲线L在M0点处切线方程为：或例17、P204，例5.24，例5.25例5.25法二在两边微分在点取∴切线方程例19、求曲线点处切线方程解：法一代入得∴切线方程：2、空间曲面的切平面与法线曲面方程：则曲面在点处切平面方程：如曲面方程则切平面方程：法线方程：例20、曲面在（2，1，3）处的法线方程例21、P203，例5.22例22、曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧单位法向量是例23、证明：曲面的切平面与坐标轴所围成的四

5、面体体积为常数证：设切点为曲面在M(x0，y0，z0)处切平面：即即四面体体积3、方向导数与梯度方向导数：，可微,,方向导数：或：如则分析：设：则设：为函数在处梯度记为：gradu即P20ÃP20例5.26Ã例5.29例P220，习题19解：gradu（M0）=取M0处法向量为