(2009.12.01)《数学建模》课程09秋期末复习辅导(文本)new

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1、综合练习一、填空题1．若银行的年利率是%，则需要时间，存入的钱才可翻番．应该填写：2．马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了．应该填写：增长率是常数还是人口的递减函数3．假设则与的数学关系式为，其中是常数．应该填写：，其中4．设某种物资有两个产地，其产量分别为10、20，两个销地的销量相等均为15．如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为则最优运输方案与运价具有两个特点．应该填写：最优运输方案不惟一；总运费均相等5．一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是．应该填写：奇数顶点个数是0或26．所谓数学建模的

2、五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为．应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析7．若按照复利计算20万元10年后的终值是，则年利率应为．应该填写：0.058．在建立人口增长问题的罗捷斯蒂克模型时，假设人口增长率是人口数量的递减函数，若最大人口数量记作为简化模型，采用的递减函数是．应该填写：二、分析判断题1．6有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种．解：问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子

3、的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度；刷洗地点的温度等．注：列出的因素不足四个，每缺一个扣4分．2．假设某个数学模型建成为如下形式：试在适当的假设下将这个模型进行简化．解：当较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为从而有.若也很小，则可以利用将其进一步化简为3．地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定怎样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示.解：撤离时人员的分布状态、人员总数、撤离速度、人们之

4、间相对拥挤程度、人员所在地与安全地点的距离、人员撤离完毕所需要的总时间等．注：列出的因素不足三个，每缺一个扣5分。4．一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是又过两个小时，含量降为试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100.（提示：不妨设开始时刻为表示时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔内酒精浓度的改变量为其中为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.）解:设为时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为6其通解是而就是所求量．由题设可知故有和由此解得可见在

5、事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定．三、计算题1．有某种物资从三个产地运往四个销地，各产地的产量及各销地的销量如表所示.但其中间各数据为利润值，希望在完成运输任务的同时，使总利润达到最大．试给出最优运输方案.（提示：求初始方案用最大元素法，当所有检验数时为最优解，检验数求法不变）表1单位:万元/吨销地利润产地B1B2B3B4产量A13113107A219284A3741059销量3656Jm2-15解首先利用“最大元素法”求出初始方案如表：表2单位:万元/吨销地利润产地B1B2B3B4产量A13´11⑥3´1

6、0①7A21´9´2´8④4A37③4´10⑤5①9销量3656其次，对方案进行最优性检验：l11=3-10+5-7=-9<0，l13=3-10+5-10=-12<0，l21=1-8+5-7=-9<0，l22=9-11+10-8=-0，l23=2-8+5-10=-11<0，l32=4-11+10-5=-2<0，故初始方案已是最优方案，即总利润达到最大的运输方案为：6总利润为：（万元）…2．有一批货物要从厂家A运往三个销售地B、C、D，中间可经过9个转运站从A到的运价依次为3、8、7；从到的运价为4、3；从到的运价为2、8

7、、4；从到的运价为7、6；从到的运价为10、12；从到的运价为13、5、7；从到的运价为6、8；从到的运价为9、10；从到的运价为5、10、15；从到的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线．解建立图模型如图1．AE2E3E1G2G3G1F2F3F1CDB738342847610121357689105101587图1Jm2-18AE2E3E1G2G3G1F2F3F1CDB738342847610121357689105101587202116131112176773801913利用双标号法计算结

8、果如图2．图2再利用逆向搜索法便可得到运输路线有：，；或．63．求解决策变量带有上下界的线性规划模型:并说明：（1）若约束条件右端项表示资源，那么资源的利用情况怎样？（2）最优解是否有选择的余地．解:利用图解法．现给出前两个约束条件满足的区域，为一个四边形区域．再考虑有上下界条件，便给出可行域．最后考虑目标函数直线．