数学建模,第六章 数值分析模型

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1、数学建模（MathematicalModeling)黑龙江科技学院理学院工程数学教研室第六章数值分析模型黑龙江科技学院数学建模理学院弦截法和抛物线法数值分析模型第六章非线性方程求根迭代法重点:插值法和非线性方程求根难点:利用数值分析方法建立数学模型插值法黑龙江科技学院数学建模理学院建模举例黑龙江科技学院数学建模理学院数值分析（numericalanalysis）是研究用计算机求解各种数学计算问题的数值计算方法及其理论与软件实现的学科。数值分析就是介绍如何用计算机来解决数学问题，以各种各样的程序语言来设计出数值计算程序，然后

2、依靠计算机的强大计算能力来求解这些数学问题，数值分析对数学理论与程序设计并重。运用数值分析解决问题的过程可分为如下几步：实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。数值分析这门学科有如下特点：（1）面向计算机（2）有可靠的理论分析（3）要有好的计算复杂性（4）要有数值实验（5）要对算法进行误差分析函数逼近问题设y=f(x)，若对以函数y=f(x)来说①其值是通过实验或观测得到，不知其解析表达式；②解析表达式很复杂，不便分析。问题：能否构造一个较为简单的函数P(x)近似地表示f(x)。这就是函数逼近问题。上

3、述函数f(x)称为被逼近函数，P(x)称为逼近函数。逼近方式有两种：插值和拟合。理学院黑龙江科技学院数学建模在生产和科学研究中,经常出现这样的问题:由实验或测量得到的某一函数在一系列点处的值,需要构造一个简单函数作为函数的近似表达式:,使得这类问题称为插值问题.----被插值函数----插值函数----插值节点-----插值条件6.1插值法插值函数：有各种类型，如代数多项式，三角函数，有理函数等。当插值函数为多项式时，称为（代数）插值多项式。[min｛xi｝,max{xi}]=[a,b]----插值区间x0xixy0yi

4、•••••yy＝f(x)o从几何上看，插值法就是要求一条曲线它通过已知的n+1个点(xi,yi)(i=0,1,…,n)，并用近似表示f(x).（下图）黑龙江科技学院数学建模理学院一、插值基函数与Lagrange插值1.简单情形(1)n=1时.设yi=f(xi)i=0，1.作直线方程：令：称为两点式插值或线性插值。黑龙江科技学院数学建模理学院(2)n=2时.设yi=f(xi)i=0，1，2.令：称为三点式插值或抛物插值。黑龙江科技学院数学建模理学院2.推广n=1时，记则n=2时，记则黑龙江科技学院数学建模理学院一般地令则lj

5、(x)(j=0，1，2，…，n)为n次多项式称为Lagrange插值基函数，为Lagrange插值多项式。黑龙江科技学院数学建模理学院黑龙江科技学院数学建模理学院例6.1.1给定数组3.1533.0622.9792.9032.8332.768907978777675（1）作一分段线性插值函数（2）用上述插值函数计算和的函数值。黑龙江科技学院数学建模理学院解由插值基函数的表达式，在75到80的6个点间有5个线性插值函数，以区间为例，此时则在区间上有.黑龙江科技学院数学建模理学院Matlab代码如下:function[Y,Ph

6、i]=FenDuanXianXingChaZhi(xx)clcx1=75:80;y=[2.768,2.833,2.903,2.979,3.062,3.153];n=size(x1,2);symsxpositivefori=1:(n-1)Phi(i)=y(i)*(x-x1(i+1))/(x1(i)-x1(i+1))+y(i+1)*(x-x1(i))/(x1(i+1)-x1(i));endPhi=Phi';l=find(x1>xx);Y=subs(Phi(l(1)-1),xx);end函数的调用格式为xx=75.5[Y,Phi

7、]=FenDuanXianXingChaZhi(xx)得到的结果为：Y=2.8005Phi=(13*x)/200-2107/1000(7*x)/100-2487/1000(19*x)/250-2949/1000(83*x)/1000-699/200(91*x)/1000-4127/1000黑龙江科技学院数学建模理学院Y=2.8005的值就是的函数值。的函数值是3.0039。同理可得到理学院例6.1.2由函数生成以下离散数据，并利用其计算函数在x=1.98，y=0.36处的函数值。并与真值作比较。yx0.10.20.30.4

8、0.50.60.50.8485551.9181153.6815226.5888911.3823319.285371.01.0473912.1169513.8803586.78772511.5811619.484211.51.2442412.3138024.0772096.98457611.7780119