概率论与数理统计ch1-3-1

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1、§1.4事件的独立性及贝努里概型一．独立性1．两事件的独立性定义1.4.1设A、B是任意二事件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的.例8掷甲、乙两枚均匀的硬币，设A={甲出现正面}，B={乙出现正面}，则Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}这时P(A)=P(B)=2/4=1/2,P(AB)=1/4，∴P(AB)=P(A)P(B)∴由定义1.4.1，A、B相互独立.实际过程中，事件间的独立性，常常根据实际意义或试验的独立性（见本节二）来判断而不是根据定义来判断，据此简化概率的计算.例9甲

2、、乙两射手向同一目标射击，已知命中率分别为0.92，0.87，试求目标被击中的概率.9解设C={目标被击中}，A={甲击中目标}，B={乙击中目标}，则C=A∪B，P(A)=0.92，P(B)=0.87∴P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)又根据实际意义判断，A、B相互独立∴P(C)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.92+0.87-0.92×0.87=0.9896定理1.4.1若事件A、B相互独立，则相互独立；相互独立；也相互独立.2．多个事件的独立性定义1.4.2若A、B、C同时满足P(AB)=P(A)P(B)

3、P(AC)=P(A)P(C)（1）P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)（2）则称事件A、B、C是相互独立的.由这个定义知道，若A、B、C相互独立，则A、B、C两两相互独立，但反之不然.例109设袋中有4个乒乓球，一个涂有白色，一个涂有红色，一个涂有蓝色，另一个涂有白、红、蓝三种颜色.今从袋中随机地取一球，以A、B、C分别记事件“出现白色”、“出现红色”、“出现蓝色”，则Ω={白，红，蓝，白红蓝}P(A)=P(B)=P(C)=2/4=1/2，P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4∴前（1）式子成

4、立，从而A、B、C两两相互独立.但P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C)∴A、B、C不相互独立.同样还可举出（2）式成立，但（1）式不成立的例子，这说明（2）式在定义1.4.2中也是不可缺少的.二．贝努里概型1．概念设一个试验E由两个可能的结果A与，并且P(A)=p(0

5、n,p).设Bk={n重贝努里试验中事件A恰好发生k次}，表示在第次试验中发生，则，，从而可分解成个两两互不相容的事件之和由试验的独立性知，上述分解式右端的每个事件的概率均等于于是，由概率的有限可加性知注意到上式是二项式(q+px)n展开式中xk项的系数，因此称之为二项概率公式或二项分布.显然这个结果是自然的，因为必然事件的概率为1.另外n重贝努里试验中事件A至少发生1次）=1-b(0;n,p)=1-qn由于0

6、A，无论其在一次试验中发生的概率多么小，只要不为零，则在大量的重复试验中A几乎是肯定会发生的.这就警示我们对于那些发生的可能性很小，但一旦发生将会造成巨大损失的事件，一定不能掉以轻心.要经常检测，采取措施，把它发生的概率减少到零.例11金工车间有10台10千瓦的机床，假定机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12分钟.现因当地电力紧张，供电部门只提供50千瓦的电力，问这10台机床能正常工作的概率为多大？解10台机床在同一时刻是否“开动”是n=10，p=12/60=1/5的贝努里试验，以X记某一时刻开动的机床数，则

7、另外，事件{10台机床能正常工作}等价于事件{同一时刻开动的机床数不能超过5台}，即P(X≤5).所以10台机床能正常工作）=P(X≤5)=9例12验证体育比赛中五局三胜制是公平的竞争.证明假设甲在每一局中获胜的概率是1/2，且各局比赛是相互独立的.而{甲获胜}={打3局甲胜}+{打4局甲胜}+{打5局甲胜}，所以由此可见，“五局三胜制”是公平的竞争.3．几何分布在贝努里试验中，A首次成功出现在第k次试验的概率记为g(k;p).设Ck={A首次成功出现在第k次试验}，Ai={第i次试验中A成功}，则所以即g(k;p)=pqk-

8、1，k=1,2,…上式是几何级数的一般项，因此上式称为几何分布.显然9例13某人参加篮球投篮训练，一旦投中，即停止训练.已知该人投篮命中率为0.7，求该人训练中至多需投篮3次的概率.解这是几何分布问题，p=0.04.所以所求概率为9§1.3条件概率、全概公式和贝叶斯公式1．条