4matlab矩阵分解与线性方程组求解

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1、MATLAB矩阵分解与线性方程组求解数学与信息科学系汪远征4.MATLAB矩阵分解与线性方程组求解4.1矩阵分解4.2秩与线性相关性4.3线性方程的组的求解4.4特征值与二次型4.1矩阵分解4.1.1LU分解矩阵的三角分解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。Matlab使用函数lu实现LU分解，其格式为：[L,U]=lu(A)其中U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=A。4.1矩阵分解4.1.1LU分解[L,U,P]=lu(A)U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，满足LU=PA。例4-

2、1A=[123;456;789];[L,U]=lu(A)[L,U,P]=lu(A)4.1矩阵分解4.1.2Cholesky分解如果A为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R=A，称为Cholesky分解Matlab使用函数chol实现Cholesky分解，其格式为：R=chol(A)若A非正定，则产生错误信息。[R,p]=chol(A)不产生任何错误信息，若A为正定阵，则p=0，R与上相同；若A非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。4.1矩阵分解4.1.2Cholesky分解例4-2A=pascal(4)%产生4阶pascal矩阵[R,p]=c

3、hol(A)4.1矩阵分解4.1.3QR分解将矩阵A分解成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的乘积A=QR，称为QR分解。Matlab使用函数qr实现QR分解，其格式为：[Q,R]=qr(A)[Q,R,E]=qr(A)求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式，R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。[Q,R]=qr(A,0)产生矩阵A的“经济大小”分解4.1矩阵分解4.1.3QR分解Matlab使用函数qr实现QR分解，其格式为：[Q,R]=qr(A)[Q,R,E]=qr(A)求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式，R的对角线元素按大小降序排列，

4、满足AE=QR。[Q,R]=qr(A,0)产生矩阵A的“经济大小”分解[Q,R,E]=qr(A,0)E的作用是使得R的对角线元素降序,且Q*R=A(:,E)4.1矩阵分解4.1.3QR分解例4-3A=[123;456;789;101112];[Q,R]=qr(A)4.1矩阵分解4.1.3QR分解返回将矩阵A的第j列移去后的新矩阵的qr分解使用函数qrdelete，其格式为：[Q,R]=qrdelete(Q,R,j)例4-4A=[-149-50-154;537180546;-27-9-25];[Q,R]=qr(A)[Q,R]=qrdelete(Q,R,3)%将A的第3列去掉

5、后进行qr分解4.1矩阵分解4.1.3QR分解在矩阵A中第j列插入向量x后的新矩阵进行qr分解使用函数qrinsert，其格式为：[Q,R]=qrinsert(Q,R,j,x)若j大于A的列数，表示在A的最后插入列x。例4-5A=[-149-50-154;537180546;-27-9-25];x=[35107]';[Q,R]=qr(A)[Q,R]=qrinsert(Q,R,4,x)4.1矩阵分解4.1.4Schur分解矩阵的Schur分解：设ARnn，则存在正交阵Q使实Schur型其中Rii至多2阶。若1阶，其元素即A的特征值，若2阶其特征值为A的一对共轭复特征值。

6、Matlab使用函数schur实现Schur分解，其格式为：R=schur(A)R为schur矩阵,即R的主对角线元素为特征值的三角阵4.1矩阵分解4.1.4Schur分解Matlab使用函数schur实现Schur分解，其格式为：R=schur(A)R为schur矩阵,即R的主对角线元素为特征值的三角阵R=schur(A,flag)若A有复特征根，则flag='complex'，否则flag='real'。[Q,R]=schur(A,…)返回正交矩阵Q和schur矩阵R，满足A=Q*R*Q'。4.1矩阵分解4.1.4Schur分解例4-6H=[-149-50-154;5

7、37180546;-27-9-25];[Q,R]=schur(H)4.1矩阵分解4.1.5实Schur分解转化成复Schur分解将实舒尔形式转化成复舒尔形式的函数是rsf2csf，其格式[Q,R]=rsf2csf(q,r)例4-7A=[1113;1211;1131;-2114];[q,r]=schur(A)[Q,R]=rsf2csf(q,r)4.2秩与线性相关性4.2.1矩阵和向量组的秩与向量组的线性相关性矩阵A的秩是指矩阵A中最高阶非零子式的阶数，或是矩阵线性无关的行数与列数；向量组的秩通常由该向量组构成的矩阵来计算。在MA