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1、广义逆矩阵与线性方程组的求解Thesolutionoflinearequationsbythegeneralizedinversematrix专业:数学与应用数学作 者:指导老师:学校二○一摘要本文首先对矩阵的广义逆进行定义及其分类,然后主要对一些重要的广义逆的性质和求解进行详细的讨论,其中包括对减号逆的求解、Moore-Penrose逆的存在性与唯一性的证明、左逆与右逆的性质与求解等等.通过对这些重要的广义逆矩阵的性质和求解方法的研究,最后探讨矩阵的广义逆在解线形方程组中的应用.关键词:广义逆矩阵；线性方程组；相容方程组；通解II
2、AbstractThisarticlefirsttodefinethegeneralizedinversematrixanditsclassification,andthenmainlyonsomeimportantpropertiesofgeneralizedinversesandsolutionofadetaileddiscussion,includingaminussignforsolvinginverse,Moore-Penroseinverseoftheexistenceanduniquenessofproof,thelef
3、tinverseandrightinverseofthenatureofandsolutionandsoon.Ontheseimportantpropertiesofgeneralizedinversematrixofthetheoryandmethod,thelastofthegeneralizedinversematrixinthesolutionoflinearequations.Keywords:generalizedinversematrix；linearequations；compatibilityequations；ge
4、neralsolutionII目录摘要IABSTRACTII0引言11矩阵的几种广义逆11.1的定义与计算31.5加号逆的性质及计算41.6左逆与右逆的定义52用广义逆矩阵求解线性方程组72.1左右逆的应用72.2相容方程组的通解与的应用82.3的应用11参考文献140引言广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广,推广的必要性,首先是从线性方程组的求解问题出发的,设有线性方程组（0.1）当是阶方阵,且时,则方程组（0.1）的解存在,并唯一.（0.2）但是,在许多实际问题中所遇到的矩阵往往是奇异方阵或是任意的矩阵（一般）,显然不存在通常的逆矩阵,这
5、就促使人们去想象能否推广逆的概念,引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵,使得其解仍可以表示为类似于式（0.2）的紧凑形式?即（0.3）1920年摩尔（E.H.Moor）首先引进了广义逆矩阵这一概念,其后三十年未能引起人们的重视,指直到1955年,彭诺斯（R.Penrose）以更明确的形式给出了Moore的广义逆矩阵的定义后,广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期,由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识,因而大大推动了对广义逆矩阵的研究,使得这一学科得到迅速的发展,已成为矩阵的一个重
6、要分支.(见参考文献[1][2])1矩阵的几种广义逆1955年,彭诺斯（R.Penrose）指出,对任意复数矩阵,如果存在复矩阵,满足(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)第14页,共14页则称为的一个Moore—Penrose广义逆,并把上面四个方程叫做Moore—Penrose方程,简称M—P方程.由于M—P的四个方程都各有一定的解释,并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的,常常考虑满足部分方程的X,叫做弱逆,为引用的方便,我们给出如下的广义逆矩阵的定义.定义1.1设,若有某个,满足M—P方程（1.1）～（1.4）中的全部
7、或其中的一部分,则称为的广义逆矩阵.(见参考文献[3])例如有某个,只要满足式（1.1）,则为的广义逆,记为；如果另一个,满足式(1.1),(1.2)则为的广义逆,记为；如果,则同时满足四个方程,它就是Moore—Penrose广义逆,等等.总之,按照定义1.1可推得,满足1个,2个,3个,4个Moore—Penrose方程的广义逆矩阵共有种,但应用较多的事一下五种,,,,.其中每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵,分述如下:1．:其中任意一个确定的广义逆,称作减号逆,或逆,记为；2．:其中任意一个确定的广义逆,称作自反广义逆,记为；3
8、．:其中任意一个确定的广义逆,称作最小范数广义逆,记为；4．:其中任意一个确定的广义逆,称作最小二乘广义逆,记为；5．:唯一，称作加号逆,或伪逆,或Moore-Penrose逆,记为.为叙述简单起见,下面我们以及实矩阵为
