NA-3-2用矩阵分解法求解线性方程组.ppt

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1、数值计算方法兰洲交通大学数理学院－－第二节用矩阵分解法求解线性方程组一、矩阵的三角分解1.顺序高斯消元与矩阵的LU分解的等价性顺序高斯消元的基本思想：将矩阵A的下三角部分消为零，数值分析数值分析－－数值分析数值分析－－数值分析数值分析－－数值分析数值分析－－数值分析数值分析－－数值分析数值分析－－数值分析数值分析－－进行到第k步消元时数值分析数值分析－－数值分析数值分析－－数值分析数值分析－－其中数值分析数值分析－－－－－－例3.2矩阵分解法LY=bUx=Yy1=6y2=-4y3=-4x1=-13x2=8x3=2

2、A=LU3/18－－基于高斯消元的LU分解算法A=[2,3,4;3,5,2;4,3,30];b=[6;5;32];[n,r]=size(A);fork=1:n-1fori=k+1:nm=A(i,k)/A(k,k);forj=k+1:nA(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);endA(i,k)=m;endendA=2.003.004.001.500.50-4.002.00-6.00-2.004/18－－fori=2:ns=0;forj=1:i-1s=s+A(i,j)*b(j);endb(i)=b(i)-s;e

3、ndb(n)=b(n)/A(n,n);fori=n-1:-1:1s=0;forj=i+1:ns=s+A(i,j)*b(j);endb(i)=(b(i)-s)/A(i,i);endb’=-1382triu(A)ans=2.00003.00004.000000.5000-4.000000-2.0000tril(A)+eye(3)-diag(diag(A))ans=1.0000001.50001.000002.0000-6.00001.00005/18－－Doolittle分解若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下三

4、角阵，U为上三角阵，则称该分解为Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺序主子式均不为零时，Doolittle分解可以实现并且唯一。－－Doolittle分解A的各阶顺序主子式均不为零，即－－Doolittle分解－－1、Doolittle分解L为下三角，U为单位上三角比较第1行：比较第1列：－－Doolittle分解－－Doolittle分解－－例3.5求矩阵的Doolittle分解12/18－－13/18－－举例（一）解：例：用LU分解求线性方程组Ax=b的解，其中令A=LU，由LU分解可得回代：

5、解Ly=b得：y=[2,8,18,24]T解Ux=y得：x=[-1,1,-1,1]T－－－－－－－－－－－－lupdsv.m%功能：调用列主元三角分解函数[LU,p]=lud(A)%求解线性方程组Ax=b。%解法：PA=LU,Ax=b←→PAx=Pb%LUx=Pb,y=Ux%Ly=f=Pb,f(i)=b(p(i))%输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可）%输出：解x（行向量）－－functionx=lupdsv(A,b)n=length(b);[LU,p]=lu(A);y(1)=b(p(1));fori=2:n

6、y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1)';endx(n)=y(n)/LU(n,n);fori=(n-1):-1:1x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/LU(i,i);end－－－－a=243141264>>[l,up]=lu(a)l=1.0000000.50001.000001.00001.00001.0000u=2.00004.00003.000002.0000-0.5000001.5000p=100010001－－a=264141385>>[l,u,

7、p]=lu(a)l=1.0000000.33331.000000.66670.50001.0000u=3.00008.00005.000001.3333-0.6667001.0000p=001010100－－>>p*aans=385141264>>[l,u,p]=lu(p*a)－－l=1.0000000.33331.000000.66670.50001.0000u=3.00008.00005.000001.3333-0.6667001.0000p=100010001－－－－对称正定矩阵的Cholesky分解AT=

8、A,A的各阶顺序主子式大于零.A的LU分解uii>0(i=1,···,n)－－AT=ARTDLT=LDRRT=LR=LT由ukk>0,记得其中(2)对称矩阵的LLT分解(1)对称矩阵的LDLT分解:A=LDLT在不引起符号混乱时仍记为:A=LLTA=LUA=LDRAT=RTDLT－－LDLT分解计算公式d1=a11,l21=a21/d1,······,ln1=a