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1、求解线性方程组的直接解法5.2 LU分解① Gauss消去法实现了LU分解顺序消元结束时的上三角矩阵U和所用的乘数,严格下三角矩阵。将下三角矩阵的对角元改成1,记为L,则有A=LU,这事实是一般的,我们不难从消去的第k个元素时的矩阵k行及k列元素的历史得到这一点.因为从消元的历史有ukj=akj-mk1u1j-mk2u2j-…-mk,k-1uk-1,j,j=k,k+1,…,nmik=(aik-mi1u1k-mi2u2k-…-mi,k-1uk-1,k)/ukki=k+1,k+2,…,n于是akj=mk1u1j+mk2u2j+…+
2、mk,k-1uk-1,j+ukj,j=k,k+1,…,naik=mi1u1k+mi2u2k+…+mi,k-1uk-1,k+mikukki=k+1,k+2,…,n从前面两个式子我们可以直接计算L和U(见下段).将矩阵分解为单位下三角矩阵和上三角矩阵之积称为矩阵的LU分解.顺序消元实现了LU分解,同时还求出了g,Lg=b的解.② 直接LU分解上段我们得到(lij=mij)ukj=akj-lk1u1j-lk2u2j-…-lk,k-1uk-1,j,j=k,k+1,…,nlik=(aik-li1u1k-li2u2k-…-li,k-1uk-1,k)
3、/ukki=k+1,k+2,…,n二式也可从A=LU的n2个等式解出.下面以n=3为例说明.u11=a11u12=a12u13=a13l21=a21/u11u22=a22-l21u12u23=a23-l21u13l31=a31/u11l32=(a32-l31u12)/u22u33=a33-l31u13-l32u23从表上看到每个元素由所在位置的元素减去同行L左边诸元素与上方U诸元素对应乘积,只不过算L的元素时还要除以同列对角元.这一规律很容易记住.可写成算法(L和U可存放于A):fork=1:n-1forj=k:nukj=akj-lk1
4、u1j-lk2u2j-…-lk,k-1uk-1,jendfori=k+1:nlik=(aik-li1u1k-li2u2k-…-li,k-1uk-1,k)/ukkendend这一算法也叫Gauss消去法的紧凑格式,可一次算得L,U的元素,不需逐步计算存储.考察上面的表格会发现还可安排其它计算次序,只要在这一次序下每个元素左边的L的元素与上方的U的元素已计算在先。例如,逐行自左而右的次序,逐列自上而下的次序,…易知g的计算规律同U.利用LU分解解Ax=b分三步:1．分解A=LU2．解Lg=b求g3．解Ux=y求x例3.
5、 用直接LU分解法解解用分解公式计算得求解③ 其它分解我们用顺序消元和直接分解两种方法实现了LU分解.还有更一般的三角分解,比如,下三角矩阵和单位上三角矩阵之积,又如单位下三角矩阵,对角矩阵,单位上三角矩阵之积,等等.下面给出第二种分解形式的算法LDR分解法。A=LDR,L是单位下三角矩阵,D是对角矩阵,R是单位上三角矩阵.逐列计算(逐列作LU分解,再用U的对角元素除各行),结果存入A。forj=1:nfori=2:jaij=aij-ai1a1j-ai2a2j-…-ai,i-1ai-1,jendfori=j+1:naij=(aij
6、-ai1a1j-ai2a2j-…-ai,j-1aj-1,j)/ajjendfori=1:j-1aij=aij/aiiendend④ 列主元素的LU分解对照顺序消元和LU分解,列主元素法也可得列主元素的LU分解:PA=LUP是行交换结果的排列阵,L和U同前.例4. 列主元素法解方程组并写出系数矩阵的LU分解.括号内是乘数,k=2时2,3行交换.因而有直接作列主元素LU分解,因为在k步要先选主元素,所以作如下改变:fork=1:n-1fori=k:naik=aik-li1u1k-li2u2k-…-li,k-1u
7、k-1,kend找p:p行k行ik=pforj=k+1:nukj=akj-lk1u1j-lk2u2j-…-lk,k-1uk-1,jendfori=k+1:nlik=aik/ukkendend可将lik存于aik,ukj存于akj.二实验部分本章实验内容：实验题目：Gauss消元法,追赶法,范数。实验内容：①编制用Gauss消元法求解线性方程组Ax=f的程序。②编制用追赶法求解线性方程组Ax=f的程序。③编制向量和矩阵的范数程序。实验目的：①了解Gauss消元法原理及实现条件,熟练掌握Gauss消元法解方程组的算法,并能计算行列式的值。②
8、掌握追赶法，能利用追赶法求解线性方程组。③理解向量和矩阵范数定义,性质并掌握其计算方法.编程要求：利用Gauss消元法,追赶法解线性方程组。分析误差。计算算法:①Gauss消元法:1.消元过程设,对计算⒉回
