直线和圆及平面向量在高考中的特点

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1、直线和圆及平面向量在高考中的特点直线和圆、平面向量是高中数学中比较基础的两章.数形结合、转化思想在这两章达到完美体现，它们在高考中往往起到基础或工具作用，纵观历年高考试卷，这两部分试题分值占较大的比例，约占20﹪；题型多为中档题，以考查三基为主，概括起来它们有以下几个特点：　　特点1：考查直线斜率（范围）这个最典型的概念，体现高考考试是考查数学基础的考试。　　直线的倾斜角、斜率、截距和方程是直线和圆一章的基本量，它们的考查多以客观题形式出现，问题中主要渗透数形结合、分类讨论等思想，具有重方法选择，轻运算之特点。　　例1、

2、设直线l过点（－2，0），且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是（）　　A）±1B）±C）±D）±　　分析1、设直线的斜率为k，建立直线方程，根据圆心到直线的距离等于半径，易求得　　k＝±；故选（C）　　分析2、如右图＝1，＝2，　　∴∠BAO＝30°　　∴k＝±；故选（C）　　温馨提示：本题考查了数形结合思想，直线和圆的对称性，方法选择上体现优化数学解法的重要性。　　特点2：线性规划主要考查不等式组表示平面区域等基础内容，是个难点，它体现了高考考查的应用性。　　线性规划部分是数学应用的体现，它着重考查不等式（组）表示平

3、面区域，利用截距的意义，从运动变化的观点，研究目标函数的最值，题型新、动静结合达到了很好的体现。　　例2：在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为　　（A）（B）（C）（D）2　　分析：如右图，显然A（0，1）D（0，－1）　　通过联立方程组可求B（－1，－2C（，－）　　观察可得S△ABC＝S△ABD＋S△ADC　　＝（＋）　　＝×2×（1＋）　　＝　　故选（B）　　温馨提示：人们常说数学是一门具有方法论的学科，作出不等式组表示的区域并不难，但三角形的面积如何求是个难点，因此我们平常应加强方法教学（分割法、补形法

4、）。　　特点3：平面向量的运算（数量积、加法、减法和数乘）是本章的重点知识，向量平行和垂直的应用是热点，而高考的考查则坚持考重点和热点的原则。　　高考中向量的运算、平面向量基本定理、向量的平行和垂直的充要条件是重点；题型中档。位置居前、相对稳定，向量坐标运算和代数运算的灵活运用是关键。　　例3：点O是△ABC所在平面内一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的（）　　A）三个内角的角平分线的交点B）三条边的垂直平分线的交点　　C）三条中线的交点D）三条高的交点　　分析：∵·＝·　　∴（－）·＝0　　∴·＝0　　∴⊥即BO⊥

5、AC　　同理：AO⊥BC，CO⊥AB　　所以O为三角形三条高的交点故选（D）　　温馨提示：公式是完成本题的基础。　　特点4：在知识X络的交汇点处设计试题，强调知识之间的交叉、渗透和综合，这里向量的工具作用真正得以体现。　　在知识的交汇点上命题时，向量主要起到中介工具作用，把大问题分解成若干个小问题来解决是较好的方法，这类题的特点突出能力立意，对考生有较高的要求。　　例4：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝（3，－1）共线。　　（Ⅰ）求椭圆的离心率；　　（Ⅱ

6、）设M为椭圆上任意一点，且＝＋（），证明为定值。　　（Ⅰ）解：设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），F（c，0）　　则直线AB的方程为y＝x－c，代入＋＝1，化简得　　－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0　　令A（x1，y1），B（x2，y2），则　　x1＋x2＝，x1x2＝.　　由＋＝（x1＋x2，y1＋y2），a＝（3，－1），＋与a共线，得　　3（y1＋y2）＋（x1＋x2）＝0.　　又y1＝x1－c，y2＝x2－c　　∴3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）＝0　　∴x1＋x2＝.即＝，所以a2＝3b2　　∴c＝＝　

7、　故离心率e＝＝.　　（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a2＝3b2，所以椭圆＋＝1可化为　　x2＋3y2＝3b2.　　设＝（x，y），由已知得　　（x，y）＝，　　∴.　　∵点M（x，y）在椭圆上，　　∴　　即.①　　由（Ⅰ）知x1＋x2＝，，.　　∴x1x2＝＝.　　∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3（x1－c）（x2－c）　　＝4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2　　＝－＋3c2　　＝0.　　又代入①得　　＝1.　　故为定值，定值为1.　　温馨提示：本题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质，考查综合运用数学知识解决问

8、题及推理能力，向量在这里起到了媒介作用。