证明数列收敛

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1、本文讨论了一类递推数列的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果.运用单调有界性来证明收敛，而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况：Ø易知单调递增或递减，需证有上界或下界。Ø易知有上界或下界，需证单调递增或递减。Ø易知既有上界又有下界，需证单调。Ø易知单调，需证既有上界又有下界。①用导数来求证单调有界性如果，即函数单调递增时，数列具有单调性是可以肯定的，而研究递增递减那要看跟的比较了(如果的话，那么)具体的说若时，由,那么可以判定为减数列。若时，由,那么可以判定为增数列。例题1.证：记,则因为，，则，由于所以，即那么具有单调有界性，上界为3然后对数列两边取极限，记极

2、限为A则.设函数，其中A为方程的根，由于在上连续，在内可导，则所以函数递增，又由于所以的根在内。如果，即函数单调递减时，数列肯定不具有单调性的．但是，它的奇数项子数列和偶数项子数列都可以看作是通过单调增加函数g(x).其中[]所以肯定具有单调性，而且其增减性恰好相反．例题1.当时，，证明数列收敛，并求其极限值。证：设函数,则函数在上连续，在内可导，易知。所以在上递减。由于,可知，又在上递减。所以有,即,所以可推得由此可知奇数项子数列单调递减有下界，偶数项子数列单调递增有上界，则两子数列都收敛。设奇数项子数列收敛于P，偶数项子数列收敛于Q。对两边去极限得：解方程得那么数列收敛于。②利用

3、不动点与导数的结合来证单调有界性。定义：对于函数,若存在实数C,使得，则称C为的不动点。命题1.设函数在上连续，在内可导，且,.设，则递推数列收敛。命题2.设函数在上连续，在内可导，且,.设，则递推数列收敛。命题3.如果函数在有唯一的不动点，那么数列必收敛于该不动点。推论：对于递推数列,如果，那么数列收敛，且收敛于L，其中。例题1.设，（），求证:数列收敛,并求其极限。解：数列的迭代方程，。又，即。故数列在区间上满足命题1的条件,于是数列收敛。又在上有唯一的不动点,于是。例题2.已知函数，且存在，使.设,,，,其中,证明:。证：由数列的迭代函数得,从而在区间上，由命题1的结论得，在区

4、间上，由命题2的结论得，于是有．证毕．③利用单调性的定义或数学归纳法。例题1.设,,证明数列极限存在。[思路：先试求的极限，对两边取极限，解得,猜想它是数列的一个上界，那么问题就转换为证明这个猜想。]证：易从看出数列递增。接下来用数学归纳法求证有上界。显然,假设，便有了。则为单调递增有上界的数列，故数列收敛。例题3.证：利用数学归纳法对n进行归纳证明，当时已知成立。假设,由重要不等式得：,因此有下界0，且当时，,故单调递减，即收敛。此外由单调递减，,即有上界，并且当时，,故单调递增，即收敛。