应用统计学第二章参数估计

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1、总体分布中常含有参数，一般常用表示参数，参数估计问题就是从样本出发构造一些统计量作为某些未知参数的估计量。通常都是对总体的期望和方差进行估计参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。第二章参数估计设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，我们用一个统计量作为的估计量，称为的点估计（量），简称估计。在这里如何构造统计量并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题：其一是如何给出估计，即估计的方法问题；其二是如何对不同的估计进行评价，即估计的好坏判断标准。点估计的几种方法一、矩估计用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，步骤如下：（２

2、）解m个方程组成的方程组，得一般地，为　　　的估计量譬如：例.1对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9经计算有由此给出总体均值、方差的估计分别为:28.695,0.9185。矩估计的实质是用经验分布函数去替换总体分布。例２设总体Ｘ的分布密度为求参数　的矩估计量解：例.３设总体服从指数分布，由于EX=1/，即=1/EX，故的矩估计为另外，由于Var(X)=1/2，其反

3、函数为因此，的矩法估计也可取为B2为样本方差。这说明矩估计是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。例４x1,x2,…,xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于不难推出由此即可得到a,b的矩估计：（二）极(最)大似然估计定义设总体的概率函数为f(x;)，x1,x2,…,xn是样本，将样本的联合概率函数看成的函数，用L(;x1,x2,…,xn)表示，简记为L()，称为样本的似然函数。如果某统计量满足则称是的极(最)大似然估计，人们通常更习惯于由对数似然函数lnL(

4、)出发寻找的极大似然估计。当L()是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法，对lnL()求导更加简单些。具体步骤如下：（１）求似然函数（２）解似然方程例１　设总体的分布密度为来自总体的样本求参数　的极大似然估计解：例2设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3(n1+n2+n3=n)，则似然函数为其对数似然函数为将之关于求导，并令其为0得到似然方程解之，得由于所以是极大值点。例3对正态总体N(,2)，θ=(,2)是二维参数，设有样本x1,x2,…,xn，则似然函数及其对数分别为将

5、lnL(,2)分别关于两个分量求偏导并令其为0,即得到似然方程组解此方程组，可得的极大似然估计为将之代入，得出2的极大似然估计虽然求导函数是求极大似然估计最常用的方法，但并不是在所有场合求导都是有效的。例4设x1,x2,…,xn是来自均匀总体的样本，试求的极大似然估计。解：极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果是的极大似然估计，则对任一函数g()，其极大似然估计为。该性质称为极大似然估计的不变性，从而使一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。例５设x1,x2,…,xn是来自正态总体N(,2)的样本，则和2的极大似然估计为，于是由不

6、变性可得如下参数的极大似然估计，它们是:标准差概率的极大似然估计（一）无偏性定义设是的一个估计，若有则称是的无偏估计，否则称为有偏估计。§2.3点估计的评价标准例１对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。样本方差B2不是总体方差2的无偏估计，对此，有如下两点说明：(1)当样本量趋于无穷时，有E(B2)2，我们称B2为2的渐近无偏估计。(2)若对B2作如下修正：，则s2是总体方差的无偏估计。例２　设为　　无偏估计（二）有效性定义设是的两个无偏估计，如果有，则称比有效。例３设X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本，记总体均值为，总体方差为2

7、，则,,都是的无偏估计，但显然，只要n>1，比有效。这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。Rao-Cramer不等式设总体的分布密度为关于参数可微,并且积分和微分可交换顺序,集合无偏估计量满足其中定义设为未知参数，是的一个估计量，n是样本容量，若对任何一个ε>0，有则称为参数的一致估计。(三)一致性(相合性)若把依赖于样本量n的估计量看作一个随机变量序列,相合性就是依概率收敛于,所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种大数定律。例1设证:例2无偏,一致,优效估计量课堂练习求的极大似然估计量,它是否是无偏的,一致的估计量?（

8、四）均方误差无偏估计不一