《信号和线性系统分析》重要公式汇总

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1、信号与线性系统重要公式第一章：信号与系统1.1单位阶跃函数e(t)单位冲激函数d(t)1.2冲激函数的性质：1.3线形系统的性质：齐次性可加性零输入响应，零状态响应，全响应第二章连续系统的时域分析法全解=齐次解（自由响应）+特解（强迫响应）全响应=零输入响应+零状态响应=零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用表示。零状态响应是指初始状态为零，仅由激励所引起的响应，用表示。和都为待定系数2.2冲激响应和阶跃响应一个LTI系统，当其初始状态为零，输入为单位冲激函数时所引起的响应，简称为冲激响应。用表示，即冲激响应为激励为时的零状态响应。一个LTI系统，当其初始状态为

2、零、输入为单位阶跃函数时所引起的响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。用g(t)表示。阶跃响应是时，系统的零状态响应。冲激响应与阶跃响应的关系：同一系统阶跃响应与冲激响应的关系2.3卷积积分零状态响应的另一种方法2.4卷积积分性质函数与冲激函数的卷积卷积的微分与积分第三章离散系统的时域分析3．1全响应=零输入响应+零状态响应差分方程的经典解全解=齐次解+特解不同特征根所对应的齐次解特征根特解单实根重实根一对共轭复根或重共轭复根不同激励所对应的特解激励特解所有特征根均不为1有为1的特征根当等于特征时当是特征单根时当是重特征根时。当所有特征根均不等于3．2单位序列和单位序列响应当LTI

3、离散系统的激励为单位序列时，系统的零状态响应称为单位序列响应，用表示。当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列时，系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用表示。单位序列响应与阶跃响应的关系连续系统冲激响应与阶跃响应的关系几种数列的求和公式序号公式说明12345673．3卷积和卷积和的性质任一序列与单位序列的卷积第四章傅里叶变换和系统的频域分析4.1信号分解为正交函数4.2傅里叶级数其中为傅里叶系数，，4．3傅里叶级数的指数形式令4．4傅立叶变换和逆变换在f(t)是实函数时：(1)若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数，且

4、为ω的偶函数。(2)若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。表4-1常用傅里叶变换编号123456789101112131415164.5傅里叶变换的性质1线形2奇偶性实部虚部实部和虚部分别为频谱函数的模和相角分别为1、若f(t)是时间t的实函数，则频谱函数的实部是角频率的偶函数，虚部是角频率的奇函数，是的偶函数，是的奇函数。2、如果是时间的实函数，并且是偶函数，则频谱函数等于，它是的实偶函数3、如果是时间的实函数，并且是奇函数，则频谱函数等于，它是的虚奇函数。4、的傅里叶变换若f(t)是时间t的实函数则有（1

5、）（2）（3）若f(t)是时间t的实函数（1）（2）3对称性4尺度变换5时移特性6频移特性7卷积定理时域卷积定理频域卷积定理其中8时域微分时域积分9频域微分频域积分10能量谱功率谱傅里叶变换的性质4.6周期信号的傅里叶变换一、正、余弦函数的傅里叶变换4．7LTI系统的频域分析1、虚指数函数作用于LTI系统所引起的零状态响应，设冲击响应h(t)2、任意信号输入时的响应第五章拉普拉斯变换5．1在频域分析中，我们以为基本信号，在复频域分析中，我们以为基本信号，由于当，称为双边拉普拉斯变换对；称为的双边拉氏变换（或象函数）；称为的双边拉氏逆变换（或原函数）。（单边）拉普拉斯变换，，，，5．

6、2拉普拉斯变换的性质1线形2尺度变换3时移特性4复频移特性5时域微分特性如果是因果信号，则由于有6时域积分定理其收敛域至少是和相重叠的部分。7卷积定理时域卷积定理复频域卷积定理8s域微分和积分5.3拉普拉斯逆变换5.4复频域分析1用拉普拉斯变换求系统的零输入响应和零状态响应代入中有为零输入响应的象函数为零状态响应的象函数一般题目中有和的值，如果只有和的值，那么先算出的函数，在根据函数，，计算和的值，可得出的函数2系统函数系统零状态响应的象函数与激励的象函数之比，称为系统函数。用表示。，仅与系统的结构，元件参数有关，而与激励及初始状态无关第六章离散系统的z域分析6．1称为序列f(k)

7、的双边z变换称为序列f(k)的单边z变换Z变换简记为：常用序列的z变换：因果序列：a为正实数令a=1，则单位阶跃序列的z变换：令则有反因果序列：b为正实数，令b=1，则有6.2z变换的性质1线形若且有任意常数则有，收敛域至少为和的相交部分2移位特性若，且有整数，则3序列乘的尺度变换若，有常数，则4卷积定理若则收敛域至少为和的相交部分5序列乘k若则，，，特例6序列若，且有整数，且，则7k域反转若则8部分和若则第七章系统函数7．1系统函数的零点与极点对于连续系统为零点为极