解析几何,吕林根,课后习题解答一到五

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1、第一章矢量与坐标§1.1矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2.设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、O、、、、、和中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：＝.当ABCD是空间四边形时，这等式是否

2、也成立？[证明]：.4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：图1—3(1)、;(2)、;(3)、;(4)、;(5)、.解：§1.2矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量应满足什么条件？（1）（2）（3）（4）（5）解：§1.3数量乘矢量1试解下列各题．⑴化简．⑵已知，，求，和．⑶从矢量方程组，解出矢量，．解：2已知四边形中，，，对角线、的中点分别为、，求．解：3设，，，证明：、、三点共线．解：4在四边形中，，，，证明为梯形．解：6.设L、M、N分别是ΔAB

3、C的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量,,可以构成一个三角形.7.设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明+=++.解：8.如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明+++＝4.解：9在平行六面体（参看第一节第4题图）中，证明．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11.用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.图1-4解12.设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明:++…+＝.解,13．在12题的条件下，设P是任意点，

4、证明证明：§1.4矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD中，（1）设对角线求解（2）设边BC和CD的中点M和N，且求。2．在平行六面体ABCD-EFGH中，设三个面上对角线矢量设为试把矢量写成的线性组合。解：图1-73.设一直线上三点A,B,P满足＝l(l¹－1),O是空间任意一点，求证：＝解：4.在中,设.(1)设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;（2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合解：5．在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量的分解式。解6．用矢量法证明以下各题（1

5、）三角形三中线共点证明：7．已知矢量不共线，问与是否线性相关？解：8.证明三个矢量＝－+3+2,＝4－6+2，＝－3+12＋11共面，其中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.[证明]：9．证明三个矢量共面。证明：§1.5标架与坐标3.在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a,b,c)关于(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.[解]：8.已知矢量,,的分量如下：(1)＝{0,－1,2}，＝{0,2,－4}，＝{1,2,－1}；(2)＝{1,2,3}，＝{2,－1,0}

6、，＝{0,5,6}.试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.[解]:7．已知A,B,C三点坐标如下：（1）在标架下，（2）在标架下，判别它们是否共线？若共线，写出和的线形关系式.解：9.已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.解：10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.[证明],,§1.6矢量在轴上的射影1．已知矢量与单位矢量的夹角为，且，求射影矢量

7、与射影，又如果，求射影矢量与射影.解：2试证明：射影l(ll+…+ln)＝l1射影l+射影l+…+ln射影l.[证明]§1.7两矢量的数性积1．证明：（1）矢量垂直于矢量；（2）在平面上如果，且＝×(i=1,2)，则有＝.证明：2．已知矢量互相垂直，矢量与的夹角都是，且计算：[解]：计算下列各题（1）已知等边△的边长为且求；已知两两垂直且求的长和它与的夹角已知与垂直，求的夹角已知问系数取何值时与垂直？解图1-114.用矢量法证明以下各题：(1)三角形的余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA;(2)三角形各边的垂直平分线

8、共点且这点到各顶点等距.证明：已知平行四边形以﹛1，2，-1﹜，﹛1，-2，1﹜为两边求它的边长和内角求它的两对角线的长和夹角解：已知△的三顶点试求：△三边长△三内角三中线长角的角平分线矢量（中点在边上），并求的方向余弦和单位矢量解：§1.8两矢量的失性1.已知,试求:解:2.证明：（1）(´)2≤2×2，并说明在什