竞渡长江策略(国家二等奖)

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1、专业技术资料分享抢渡长江模型摘要对于抢渡长江模型的建立问题，实际上就是一个怎样选择最佳路径的问题。对于此问题，本文从所给的实际问题，加上我们根据问题做出的合理假设，以及各个选手成功的特有条件。根据微分学以及一些物理知识，最优化条件，针对各个问题而建立的模型很好的解决了个问题。通过Mathemtica程序对模型分别进行了求解，得出了游泳者的最佳游泳速度大小与方向。在水流1.89m/s时，根据问题1的模型而解方程组算出了成绩为14分8秒的选手的游泳速度的大小为1.54155m/s,角度为117.4559。在人的速度为恒速1.5s时，其时间为910.465秒，角度为121.8。对

2、于第二问，游泳者的游泳方向为垂直岸边，在这种特殊条件下，我们根据所建立问题2的模型解方程得出了要到达的临界条件为游泳者速度2.1924m/s。根据此模型通过对距离和度的比较，很好的解释了1934年与2002年到达终点比率的差别问题，也计算出了能够成功到达终点的条件。第三问根据拉格朗日最值定理求驻点，并利用Mathemtica画出了游泳者大致的游泳途径图形而得到最优路线为折线，并估计其成绩为904.021秒。问题四，充分利用变分法结合拉格朗日乘子法及泛函知识解决极值、以及化条件极值为无条件极值问题，引用了哈密尔顿函数，利用Mathematica假定当游泳者的速度为1.5米/秒

3、时计算出了时间T=892.478秒，并绘制出了游泳者最佳路线图。最后在模型推广中，对游泳者到达终点的条件进行了改进，提高了成功到达者的比率。我们认为，本文所建立模型很好的解决了抢渡长江的问题。本文的最大特色在于通过建立了一模型，提高了成功者到达的比率，找到了到达终点的选手的条件。还充分利用了变份法，找到了一种能解决普遍问题的方法，推广了其运用。WORD资料可编辑专业技术资料分享一．问题的提出1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点。

4、2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃,江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线,它们之间的垂直距离为1160米,从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见示意图。1160m1000m长江水流方向终点:汉阳南岸咀起点:武昌汉阳门我们需要解决的问题就是要通过数学建模来分析上述情况,来

5、解决以下问题:1.假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2.在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3.若流速沿离岸边距离的分布为(设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向)：游泳者的速度大小（1.5米/

6、WORD资料可编辑专业技术资料分享秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4.若流速沿离岸边距离为连续分布,例如或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。5.给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6.所建立的模型还可能有什么其他的应用？二．问题假设1．在竞渡区域两岸为平行直线。2．除水流之外，不受其它因素的影响。3．竞渡过程中游泳者全程的速度大小恒定。4．将游泳者看着一个质点。5．设竞渡区内无阻碍游者前进的阻碍物。6．水流速度的方向一定。三．符号说明-------人游泳的速度在平行水流方向的分速度-------人游泳的速度在垂直水流方向的分速

7、度-------人游泳的速度和水流的合速度-------水流速度t-------时间-------游泳者的游泳方向与平行水流方向的夹角-------游泳者游泳速度-------合速度与平行水流方向的夹角-------OA连线与平行水流方向的夹角T-------起点到终点所用的总时间S-------游泳者在时间t内的总路程WORD资料可编辑专业技术资料分享四．问题分析首先，以武昌汉阳门码头为原点O，河正岸为x轴，河下游方向为x轴正向，垂直x轴方向为y轴，指向河对岸方向为y轴正向。终点汉阳南岸咀为点A，其坐标为（100