挖掘问题内涵,凸显数学本质

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1、挖掘问题内涵,凸显数学本质【案例背景】　　在校本教研活动中，我参与了一位老师《平行四边形复习》的磨课和展示课的教学过程。其中一道例题的教学，给了我许多启示，现整理一下与大家一同分享。　　【例题】　　如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于O点，已知E、F是AC上的点，连接DE、EB、DF、FB，请你添加一个条件，使四边形BFDE是平行四边形，并加以证明。　　【磨课实录】　　生1：添加OE=OF　　师生一起写出该条件下的证明过程：　　∵在?荀ABCD中，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）　　又∵OE=OF　　∴四边形BFDE是平行四边形（对角线相等的四边形是平行四边形）　　师：还有其他添加

2、条件的方法吗？　　生2：△AED≌△CFB　　师生一起写证法：　　∵△AED≌△CFB　　∴DE=BF，∠AED=∠CFB　　∴∠DEF=∠BFE　　∴DE∥BF　　∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）　　师：还有其他添加条件的方法吗？　　生3：△AEB≌△CFD　　师：这种方法与△AED≌△CFB类似，还有其他方法吗？　　生4：AE=CF　　师生一起写出该条件下的证明过程：　　∵在?荀ABCD中，AD=BC，AD∥BC　　∴∠DAE=∠BCF　　又∵AE=CF　　∵△AED≌△CFB（SAS）（后部分同生2证法）　　生5：点E、F分别是OA和OC的中点。　　

3、师：同学们看一下，这里添加的是一个条件吗?　　众生：是。　　师：同学们再仔细看看，这里用到了“分别”两个字，应该是几个条件？　　众生：两个。　　师：那还有其他方法吗？　　生6：∠ADE=∠CBF　　师生一起写出证明过程，然后进入下一题的讲解……　　【听磨课的感悟与反思】　　在教师讲课的过程中，我在想，三角形全等，可以作为一个条件吗？如果把“点E、F分别是OA和OC的中点”理解为两个条件的话，要保证三角形全等需要满足的条件至少要三个呢？教师没有意识到添加的条件AE=CF，其实就是使△AED≌△CFB全等的条件。同样的，添加∠ADE=∠CBF也是保证使△AED≌△CFB全等的条件。在教学过程中，师

4、生都能接受把△AED≌△CFB和△AEB≌△CFD作为一个条件，却没想到添加的条件，只要满足△AED≌△CFB和△AEB≌△CFD即可。其实，如果教师事先要是把握了这一点的话，当学生提出“△AED≌△CFB”这一条件时，就可以引导学生朝着只要能保证三角形全等，从而去寻找弱化的条件，比毫无目的的“还有其他方法吗？”的引导要省时省事得多。课后我与上课教师交流了自己的想法。　　【展示课实录】　　生1：添加OE=OF　　师生一起写出该条件下的证明过程：　　∵在?荀ABCD中，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）　　又∵OE=OF　　∴四边形BFDE是平行四边形（对角线相等的四边形是平行四边形）　　

5、师：还有其他添加条件的方法吗？　　生2：∠ADE=∠CBF（写成∠1与∠2）　　师生一起写证明过程，先由ASA证△AED≌△CFB，得到AE=CF，从而有OE=OF，回到上一题的证法。　　师引导：∠1=∠2成立，还能加哪些角？　　生3：∠DAE=∠BCF（写成∠3与∠4）　　（证法类似于上题，故没写过程）　　师引导：这些都是用对角线互相平分来证，有其他方法吗？　　生4：DE∥FB　　师生一起先证△DEO≌△BFO（AAS），再证对角线相等的四边形是平行四边形。　　师总结：生1用了OE=OF，能否直接加AE=CF，你能判断此时成立吗？　　生5：AO-AE=OE，CO-CF=OF，所以OE=OF…

6、…　　师：再看，加∠1=∠2，∠3=∠4都行，还能加哪些角的条件？　　众生：∠CDF=∠ABE（师标上数字，写成∠5=∠6）　　师：由DE∥FB，还能添什么条件？　　众生：DF∥EB　　师总结：解条件开放题的一般思路：从结论出发，看条件有什么，缺什么就添什么？　　然后进入下一题的讲解……　　【课后点评】　　展示课后教研员吴老师点评，本题所添加的条件，其实应该都是关于O点对称的，这源于平行四边形的本质——中心对称图形，教师在课堂上其实不必讲那么多添加的方法，因为添加的方法还远不只这几种，重要的是让学生知道它的数学本质……我在第一次听课时，把它的数学本质认为是只要满足△AED≌△CFB和△AEB≌

7、△CFD即可，还为自己的想法得意洋洋了许久，哪里知道，我是“五十步笑百步”。　　一听课老师指出：教师在课堂上希望学生能用除了“对角线相等的四边形是平行四边形”以外的方法去证明，而实际上，用这种方法去证是最简单的，所以学生已经用了最优的方法，而教师还想要用不同的判定方法，其实只要去掉图形中的对角线BD，采用不同判定方法的目的就容易达到了。　　还有老师说，从中心对称的角度来说，添加DE=BF也行，但是