参数模型功率谱估计

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1、第12章参数模型功率谱估计12.1平稳随机信号的参数模型12.2AR模型的正则方程与参数计算12.3AR模型谱估计的性质与阶次选择12.4AR模型的稳定性与信号建模12.5关于线性预测12.6AR模型系数的求解算法12.7MA模型12.8ARMA模型12.9Pisarenko谐波分解与MUSIC算法12.1平稳随机信号的参数模型经典谱估计：分辨率低（受窗函数长度的限制）;方差性能不好；方差和分辨率之间的矛盾。对平稳信号建模:用于功率谱估计:提高分辨率，减小方差；也可用于信号的特征提取，预测，编码及数据压缩等。步骤2

2、由的先验知识，如,估计的参数：步骤1假定所研究的平稳过程是由一白噪声序列激励一线性系统所产生的输出；从功率谱估计的角度，对平稳信号建模的步骤：即是对建立的数学模型。参数一旦上述系数被求出，则：功率谱估计：随机信号通过LSI系统的输入输出关系步骤3LSI系统的输入、输出关系：以上两式是LSI系统的时域表示，无论对确定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、输出是平稳随机信号（输入是白噪声）。差分方程卷积关系转移函数的两种表示形式，独立于信号。谱分解的Z域表示待辨识的参数。AR（Auto—Regressive，自回归）模

3、型若：并假定：全极点模型则：MA（Moving—Average,移动平均）模型若：则：全零点模型ARMA（Auto-RegressiveMoving-Average,自回归－移动平均）模型极—零模型ARMA模型如果：不全为零则：AR模型:全极模型，线性，用的最多，被研究的也最多，性能很好；MA模型：全零模型，看起来简单；但是非线性；ARMA模型：极－零模型，二者的综合。具体选用那一个模型，一是取决于信号的特点，二是取决于信号处理任务的需要，需区别对待。KaySM,MarpleSL.SpectrumAnalysis:

4、amodernPerspective.Proc.IEEE,69(Nov):1380-1419,1981MakhoulJ.LinearPrediction:atutorialreview.Proc.IEEE,62(April):561-580,1975KaySM.ModernSpectrumEstimation:TheoryandApplication.19884MarpleSL.DigitalSpectrumAnalysiswithApplication.1987推荐如下参考文献：12.2AR模型的正则方程与参数计

5、算目标：找到已知参数和未知参数的关系，以便求解未知参数：已知参数：求解方法：由下面的差分方程入手：两边同乘，求均值未知参数：和的互相关因果系统卷积关系结果1：结果2：结合起来正则方程（NormalEq.）Toeplitz自相关阵又称Yule-Walker方程利用Yule-Walker方程，可求解出AR模型参数：于是模型可以构造，可以实现功率谱估计。提法：设在时刻之前的个数据已知现在希望用它们预测为了深入了解AR模型的特点，现探讨另外一个问题，即线性预测问题：线性预测误差序列均方误差令：可以得到使最小的及。不求导，使

6、用正交原理：Wiener-HopfEq.：最小预测误差功率线性预测的Wiener-HopfEq.注意到：对同一信号，都使用其得到了两组方程：来自AR模型：Yule-Walk方程来自LP：Wiener-Hopf方程结论：对同一信号，二者是相同的，即一个p阶AR模型的系数可用来构成一个p阶的线性预测器，反之亦然。并且：由于所以等效的概念应等于AR模型激励白噪声的功率。由LP的含意，因此AR模型也可以看作是在最小平方意义上对数的拟合；上面等效的含意是：由于LP包含了对数据的外推，因此，对应的谱估计所用数据的范围比实际的应

7、有扩展，因此可以提高分辨率。线性预测器的误差序列等效于激励AR模型的白噪声序列；AR模型白化滤波器线性预测器Yule-Walker方程的快速计算－Levinson-Durbin快速算法：反射系数要求解的参数：思路：利用Toeplitz矩阵特点，由低阶高阶零阶预测器的误差等于信号的功率递推公式递推过程中，要始终保持：P阶AR模型（LP）有三组参数：可互相导出，请给出它们互相导出的公式。都是p+1个AR模型基于AR模型谱估计的实现：由估计步骤1步骤2解Yule-walker方程，得估计的模型参数步骤3尚需离散化离散谱，

8、用FFT计算实际计算：12.3AR模型谱估计的性质1.AR谱的平滑特性AR模型是一有理分式，估计出的谱平滑，不需要像周期图那样再做平滑或平均，因此，不需要为此去牺牲分辨率。2.AR谱的分辨率经典谱估计：假定：分辨率反比于N，即对间接法：分辨率还要降低AR模型包含了对的“预测”或“外推”。实际上，这包含着自相关函数的“外推”。令：AR谱AR谱对应的自相关函数可