基于ARMA模型的功率谱估计.ppt

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1、基于ARMA模型的功率谱估计2012.12.08目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例将广义的平稳过程x(n)表示成一个输入序列u(n)(白噪声)激励线性系统H(z)(ARMA模型)的输出由H(z)的输出功率谱来估计x(n)的功率谱ARMA过程定义利用已知的x(n)来估计H(z)的参数将广义的平稳过程x(n)表示成一个输入序列u(n)(白

2、噪声)激励线性系统H(z)(ARMA模型)的输出由H(z)的输出功率谱来估计x(n)的功率谱ARMA过程定义离散随机过程服从线性差分方程：为离散白噪声，则称为ARMA过程。自回归(autoregressive)—滑动平均(movingaverage)过程AR阶数AR参数MA阶数MA参数ARMA过程定义ARMA过程定义ARMA模型描述的线性时不变（LTI）系统传递函数：ARMA过程定义冲击响应系数满足ARMA模型的条件：(1)冲激响应系数必须绝对可求和：(系统稳定)(2)A(z)和B(z)无公共因子(p,q

3、唯一)(3)系统是物理可实现的(因果系统)极点的作用：决定系统的稳定性和因果性因果性：称x(n)是e(n)的因果函数，若即因果系统要求极点在单位圆以内，A(z)的根

4、z

5、<1零点部分极点部分ARMA过程性质零点的作用：决定系统的可逆性，即可逆性：称e(n)是x(n)的可逆函数，若(1)存在序列，并满足(2)——可逆系统的稳定——可逆性条件ARMA过程性质特例一：MA过程有限冲激响应(FIR)系统ARMA过程特例—MA过程滑动平均特例二：AR过程中含有的无数多项无限冲激响应(IIR)系统ARMA过程特例—A

6、R过程自回归ARMA过程的Wold分解定理Wold分解定理：任何一个具有有限方差的ARMA或MA过程，可以表示成唯一的、阶数有可能无穷大的AR过程；同样，任何一个ARMA或AR过程也可以表示成一个阶数可能无穷大的MA过程。目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例则功率谱其中ARMA过程功率谱定义ARMA过程功率谱定义证明设是零均值离散时间平稳过程，取ARMA过程则：对上式两边取数学期望计算自相关函数ARMA过程功率谱定义由上式计算功率谱密度函

7、数取为白噪声，则有（白噪声功率谱密度为常数，）固有目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例Wold定理表明：一个ARMA模型可以用一个阶数足够大的AR模型来近似。相比于ARMA模型不仅需要确定AR阶数和MA阶数，还需要估计AR参数和MA参数（MA参数估计必须求解非线性方程组），AR模型相对简单，故工程上常用AR模型作近似。ARMA功率谱的线性估计方法的基本思路都是首先解线性方程估计出AR参数，再通过一定的方法，将功率谱表达式转换成只需要AR参

8、数，而不需要MA具体参数值的计算表达式。估计方法估计方法AR过程的实现方法ARMA过程的实现方法定阶p&q估计AR、MA参数功率谱计算将ARMA功率谱密度分解为两部分之和：线性化方法一:Cadzow谱估计子其中，取：另一方面功率谱可做如下类似分解：其中，取：线性化方法一:Cadzow谱估计子可以得到：从而可以计算ARMA模型的功率谱：线性化方法二:Kaveh谱估计子将ARMA功率谱密度公式作如下变形：为了保证上式中第二个等号相等，有：可以看出，具有对称性，即：从上式中第三个等式，有：线性化方法二:Kave

9、h谱估计子比较上式两边同幂次项的系数，可以得到：从而可以计算ARMA模型的功率谱：目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例AR模型阶数确定FPE(FinalPredictionError)准则函数AIC(AnInformationCriterion)准则函数MDL(MinimumDescriptionLength)准则函数在各自准则取得最小值时的模型为适用模型为AR模型阶数，为激励方差，为样本点数。赤池，日本，1969赤池，日本，1974Ri

10、ssanen，芬兰，1983AR模型参数估计ARMA过程可以表示为：其自相关函数为：由白噪声，有：因此，可得：AR模型参数估计由ARMA过程的定义式，有：从而可以得到下式：注意，对于一个ARMA过程而言，其MA参数在q阶以上为零，即有：ARMA过程的自相关函数可总结为如下结构:式中，p和q分别是AR和MA的阶数，ai和bj分别是AR参数和MA参数，r(k)是输入信号的自相关函数，h是ARMA模型的参数，当h下标小于0时，h均取