试论文化数学的建构途径

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1、文化数学三题（之三）试论文化数学的建构途径理科中学数学教学，2012.3尚强胡炳生文化数学，其主要想法就是：用文化的各种元素对数学进行包装，使数学文化化，将数学从科学课程转变为文化课程。构建文化数学，可以设想以下途径：1数学与历史结合数学，从数学的历史故事和历史上有关数学的逸闻趣事讲起。例如，讲概率，可以从赌徒梅累提出的得分问题讲起，讲到帕斯卡和费马解决此问题的不同思路。这比从定义到定理、公式纯理论的讲法，一定会有趣得多。故事如下：在17世纪的法国，有个深有文化素养的赌徒梅累，在赌博中遇到一个棘手的问题：得分问题。这首先要了解当时欧洲赌博游戏的规则：一般是两人对弈，双方各出同等赌资，

2、放在一起作赌注。每局胜者得1分，事先约定先得几分者为胜。胜者获得全部赌资。梅累遇到的得分问题是：A、B二人各出金币32枚作赌注。约定先得4分者获胜，胜者获得全部64枚金币。但是由于某种突然情况，当A得2分，B得1分时，赌博不得不终止。试问：这时应该按照什么比例来分配这64枚赌金？梅累虽然是一个熟练的赌徒，但是不能解决这个从未遇到过的难题。于是他向法国天才数学家——帕斯卡（1624——1662）求救。而帕斯卡又把这个问题写信给他的朋友，被誉为业余数学家之王的费马（1601——1665）。经过思考和研究，帕斯卡和费马从不同的思路上给出了各自的解法。费马的方法：设想赌局继续进行4局，总可以

3、得出最后结果。他列举出各种胜负可能情况，以决定个人的胜负可能性：1．A胜4局，B全负，这只有一种情况——aaaa;2．A胜3局，B胜1局，这有4种情况——aaab,aaba,baaa;3．A胜2局，B胜2局，这有6种情况——aabb,abab,abba,baba,bbaa,baab;4．A胜1局，B胜3局，这也有4种情况——bbba,babb,abbb,bbab;5．B胜4局,A全负，这也只有一种情况——bbbb.以上共有16种情况，其中有11种情况为A胜；其余5种情况B胜。从而A、B二人的胜率（机会）之比为11：5。因此，A应得赌金的；B应得赌金的。即A应得赌金的个金币，B应得赌金

4、的金币。帕斯卡则从从他发现的数字三角（帕斯卡三角）出发，设想：赌局开始，在数字三角的顶点上放一颗棋子，第一局若A胜，将棋子向左下移到第二行；若B胜则向右下移动棋子到第二行。第一局后，不论谁胜，棋子都会移到第二行。第二局后，棋子一定回移到第三行上。只是若A胜棋子向左下移一格，B胜则向右下移一格。依次类推，第三局，棋子移到第四后，棋子移到第四行。第四局后，棋子移到第五行。例如，若A胜3局，B胜1局，则棋子向左下移3次，向右下移1次。棋子移动的路线有以下四条：1（向左）®1（向左）®1（向左）®1（向右）®4；1（向左）®1（向左）®1（向右）®3（向左）®4；1（向左）®1（向右）®2（

5、向左）®3（向左）®4；1（向右）®1（向左）®2（向左）®3（向左）®4；则不论如何，最后棋子都移到第五行的第二个数字4上。这个数字4，就是A胜3局，B胜1局的所有可能情况。同理，第五行上第三个数字6，就是从顶点1移动棋子到这个数字上的可能情况总数。因为A若胜4局、3局、2局，A都先胜4局，故A胜；若A只胜1局，或全输，B才能获胜。因此，对应第五行上的前3个数字1，4，6就是A获胜的所有可能情况；而第五行后两个数字5，1则是B获胜的所有可能情况。于是A、B获胜的可能机会之比应为：（1+4+6）：（1+4）=11：5。这与上面费马的结果完全相同。到此，梅累的得分问题，便彻底解决。若用

6、排列、组合符号表示，那么上述结果可以表示为：。这与上面费马的结果完全相同。到此，梅累的得分问题，便彻底解决。一般化：A、B二人各需再胜局、局，那么，终局的棋子应该落在第行上，且二人获胜机会之比为：。1数学与文艺结合2数学与生活结合3数学与问题解决结合