椭圆标准方程的推导方法

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1、椭圆标准方程的推导方法就现行高中数学教材椭圆的标准方程的推导，本文介绍了四种推导方法.并对它们的优缺点进行了简单的点评.　　已知平面上一动点P(x,y)到两定点F1(-c,0)、F2(c,0)的距离之和为　　2a(a>c>0)　　，求此动点的轨迹方程.　　解法1：由方程　　(x+c)2+y2+　　(x-c)2+y2=2a.　　经过了“两次平方”．并令b2=a2-c2推导出　　x2a2　　+y2b2=1　　为椭圆标准方程，虽然这种方法的思路非常自然、直观，但是由于其间要经过两次两边平方的处理，运算量

2、相对较大，而且繁杂的运算掩盖了问题的实质，使推导不容易全面把握.　　解法2：由已知不等式　　(x+c)2+y2　　+　　(x-c)2+y2=2a①　　及恒等式　　-=4cx　　②　　②÷①得　　(x+c)2+y2　　-(x-c)2+y2　　=2cxa　　③　　①+③得2(x+c)2+y2　　=2a+2cxa,　　即(x+c)2+y2　　=a+cxa,　　④　　将④两边平方，得　　(x+c)2+y2=a2+2cx+c2x2a2　　整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a

3、2-c2)令b2=a2-c2.　　得x2a2+y2b2=1为椭圆的标准方程.　　解法3：由①知　　(x+c)2+y2,a,　　(x-c)2-y2　　构成等差数列，　　设此等差数列的公式为d，则　　(x+c)2+y2=a-d,⑤　　(x-c)2+y2=a+d,⑥　　　　将⑤⑥两式平方后相减，得　　　　-　　=(a-d)2-(a+d)2　　整理,得　　d=-cax.　　所以(x+c)2+y2=a+　　cxa　　即④，以下同方法2.　　用以上两种方法同样可以推导出双曲线方程.　　图1　　解法

4、4：如图1，过P点向x轴作垂线，设垂足为D，并将P到　　F1、F2的距离分别设为a+t,a-t.则　　

5、PD

6、=

7、y

8、,

9、F1D

10、=

11、x+c

12、,

13、F2D

14、=

15、x-c

16、.　　　　根据勾股定理,有　　｜PF1｜2=

17、PD

18、2+

19、F1D

20、2,　　

21、PF2

22、2=

23、PD

24、2+

25、F2D

26、2,　　即(a+t)2=

27、y

28、2+　　

29、x+c

30、2,(a-t)2=

31、y

32、2+

33、x-c

34、2,　　去掉绝对值并展开为：　　a2+2at+t2=y2+x2+2cx+c2（1）　　a2-2at+t2=y2+

35、x2-2cx+c2（2）　　两式相减得到：at=cx,即　　t=cax,　　，　　将此结果代入（1）或（2）并令b2=a2-c2.　　再整理即有：　　x2a2　　+y2b2　　=1　　这就是椭圆的标准方程　　这种方法也可以几乎不加改变地推广到导出双曲线的标准方程上去.