谈椭圆, 双曲线标准方程 推导过程中教育价值的开发

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1、·36·中学教研(数学)谈“椭圆、双曲线标准方程’’推导过程中教育价值的开发●陈立军(江宁高级中学江苏南京211100)建立曲线方程和通过方程研究曲线的性质是的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方，整理解析几何的2个基本问题．因此，椭圆、双曲线标准后化为方程只含一个根式，即为(1)．(1)是学生已方程的推导理应是课堂教学的重点，但当前的课堂有技能的总结，(2)体现了化归的思想(化生为熟、教学中仍存在淡化、简化方程推导过程的教学行化繁为简)，但是没有讲清楚“为什么”．为，有的教师甚至假托圆锥曲线是高考中的热点、其实，对根式难点之名压缩方程过程的推导时间，盲目地把大量

2、~／(+c)++~／(—c)+y2=2a的教学时间用于方程的求解．其实，综观近几年高的化简有多种方法(课堂上学生的反应也确实如考对圆锥曲线的考查，求方程多是解答题的第(1)此)，每一种方法不仅仅是公式法则的堆砌、形式小题，难度不大．难度主要体现在第(2)小题、第的演绎，也揭示了数学形式化背后生动活泼的思维(3)小题，重点考查学生综合运用数学知识分析问过程．教师应充分尊重学生的创造性劳动，哪怕仅题、解决问题的能力．对于椭圆、双曲线的标准方是一个好的“念头”，鼓励学生大胆地尝试各种方程，从结果即方程的表现形式上看，充分体现了数法，并帮助学生提炼出方法背后的“道理”，加深

3、学学的简洁美，但其推导过程更蕴含着丰富的教育价生对数学本质的深度理解．值．教学实际中，如果我们能钻得深一点、想得透一1．1不同方法的简述些，精心设计教学流程，便可以很好地开发椭圆、双方法1对曲线标准方程推导过程的教育价值，从而有效提升J(x+c)+’，2+J(x—c)+=2口学生的数学学习能力．直接平方，这是课堂上学生的首选．但因为运算比1方程的推导过程可以提高学生对算理的认识较繁琐，很多教师舍弃了．即使有学生坚持，教师通解析几何因对学生的运算要求比较高，学生时常也以这种方法运算太繁了，打断了学生的回答，有畏难情绪，这也是制约学生解题能力提升的一个中止了学生的尝试．

4、如果坚持走下去，此法“道路重要原因．从根本上说，运算能力提高的关键是算虽曲折”，但“前途是光明的”．略解如下．由理的提升．经过建立直角坐标系、设点坐标、列出等~／(+c)+Y+~／(一c)+Y=2a式、代人坐标的过程后，椭圆标准方程的推导难点是对复杂根式甘(+c)+(一c)+2+2~／(+c)+·J(x—c、+y2=4a+=2a(1)的化简．由于初中阶段没有详细介绍含有2个根式铮J(x+c)+y·J(x—c)+Y=的化简，因此教学时应详细给出化简过程，教材中2a一(++c)也列出了常见化简方法的详细步骤．即将方程(1)铮[(+C)+]．[(—C)+Y]=移项后两边平

5、方，整理可得[2a一(+Y+C)]，左边=[+)，2+C一2cx]·[++C+2]=口~／i=0一，(+Y+C)一4c，两边再平方后整理，得右边=(++C)一4a(+)，2+c)+4a，(Ⅱ一c)+a2y2=a(a一C)．从而4口一4a(+)，2+c)=一4c，笔者认为，在课堂教学中，与直接化简求得结果相即(a一C)+a2y=a(a一C)．比，更为重要的是以此化简为载体，帮助学生从算方法2利用等差中项的概念．由理上提高认识．为此，教学参考中也对上述化简过4(x+c)++J(x—c)+y=2a程给出了2点说明：(1)方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，然

6、后两边平方；可视=，口，成等差数(2)方程中有2个根式时，需将它们分别放在方程列，不妨设公差为d，则第3期陈立军：谈“椭圆、双曲线标准方程”推导过程中教育价值的开发·37·J(x—c)+)，2=口一d，(2)式~／(—c)+Y，√(+c)+视作等差数列的~／(+c)+)，2=口+d，(3)“项”，突破了学生原有的数列“项”的认识——简单的数字或字母．式(2)一式(3)后化简得对于方法3的分子有理化，也有必要做进一步d=，说明，借机对无理根式化简的算理给予必要的概括，这在后续的复数运算中也有形式上的相似之贝U√(一c)+Y=Ⅱ一，处．一般地，像复数a+6i和a—bi(

7、a，b∈R)称为即口~／(一c)+)，2=口一CX，共轭复数对一样，我们称a+b和a一b以下同教材的处理．(a，b为有理数，，为无理数)为共轭无理数对．方法3可将~／(+c)+Y+^／／(—c)+y类似于共轭复数对相乘后为实数，共轭无理数对也视作分母为1的分式，分子、分母同乘以具有一些性质，比如相乘后变成有理数，相加或相~／(+c)+y2一~／(一c)+减后即可消去一个无理式．这样，具体根式的化简方法上升为更具一般性的认知策略选择．后实现分子有理化，可得2方程的推导过程可以加深学生对概念的理解和一一——，—一，'i_．=一二一“’对圆锥曲线性质的挖掘2．1加深对