高中数学讲义微专题12 复合函数零点问题

《高中数学讲义微专题12 复合函数零点问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、www.ks5u.com12复合函数零点问题一、典型例题例1：设定义域为的函数，若关于的方程由3个不同的解，则______例2：关于的方程的不相同实根的个数是（）A.3B.4C.5D.8思路：可将视为一个整体，即，则方程变为可解得：或，则只需作出的图像，然后统计与与的交点总数即可，共有5个答案：C例3：已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是．思路：所解方程可视为，故考虑作出的图像：，则的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有，所以，解得答案：例4：已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实数根个数为（）A.

2、B.C.D.思路：已知方程可解，得，只需统计与的交点个数即可。由奇函数可先做出的图像，时，，则的图像只需将-5-的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根的个数是（）A．3B．4C．5D．6思路：由极值点可得：为①的两根，观察到方程①与结构完全相同，所以可得的两根为，其中，若，可判断出是极大值点，是极小值点。且，所以与有两个交点，而与有一个交点，共计3个；

3、若，可判断出是极小值点，是极大值点。且，所以与有两个交点，而与有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点答案：A例6：已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为最多只能解出2个，若要出七个根，则，所以，解得：答案：B例7：已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）-5-A.B.C.D.思路：，分析的图像以便于作图，时，，从而在单调递增，在单调递减，，且当，所以正半轴为水平渐近线；当时，，所以在单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个

4、不等实根，则关于的方程中，，从而将问题转化为根分布问题，设，则的两根，设，则有，解得答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例8：已知函数，则下列关于函数的零点个数判断正确的是（）A.当时，有4个零点；当时，有1个零点B.当时，有3个零点；当时，有2个零点C.无论为何值，均有2个零点D.无论为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程的解的个数，先作出的图像，直线为过定点的一条直线，但需要对的符号进行分类讨论。当时，图像如

5、图所示，先拆外层可得，而有两个对应的，也有两个对应的，共计4个；当时，的图像如图所示，先拆外层可得，且只有一个满足的，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确答案：A-5-例9：已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有___________个思路：先通过分析的性质以便于作图，，从而在单增，在单减，且，为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取能对应较多的情况，由图像可得，当时，每个可对应3个。只需判断中，能在取得的值的个数即可，观察图像可得，当时，可以有2个，从而能够找到6个根，即最多的根的个数答案：6个例10：

6、已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程有且只有6个根（2）方程有且只有3个根（3）方程有且只有5个根（4）方程有且只有4个根-5-则正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数。（1）中可得，进而有2个对应的，有3个，有2个，总计7个，（1）错误；（2）中可得，进而有1个对应的，有3个，总计4个，（2）错误；（3）中可得，进而有1个对应的，有3个，有1个，总计5个，（3）正确；（4）中可得：，进而有2个对应的，有2个，共计4个，（4）正确则综上所述

7、，正确的命题共有2个答案：B-5-