复合函数的零点问题

《复合函数的零点问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、.复合函数的零点问题I．题源探究·黄金母题【例1】设函数（为常数且）．若是的零点但不是的零点，则称为的二阶周期点，求函数的二阶周期点．【答案】函数有且仅有两个二阶周期点，，．【解析】当时，由解得，由于，故不是的二阶周期点；当时，由解得因，故是的二阶周期点；当时，由解得，因精彩解读【试题来源】2013年高考江西卷改编．【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点．【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．....故不是的二阶周期点；当时，解得，因，故是的二阶

2、周期点．综上：函数有且仅有两个二阶周期点，，．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017年高考江苏卷】设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是▲．【答案】8【解析】由于，则需考虑的情况在此范围内，且时，设，且互质若，则由，可设，且互质因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点【命题意图】本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大．【难点中心】解答此类问

3、题，关键在于“抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题．....，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．【例3】【2015年高考天津】已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】由得，，即，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知．....III．理论基础·解题原理1．复合函数定义：设，，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记

4、为．2．复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．例如：已知，计算．【解析】，．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值．例如：已知，，若，求．由上例可得，要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义．4．函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求

5、出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大．【技能方法】求解复合函数零点问题的技巧：....（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围．【易错指导】1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f

6、(－2)·f（2）的值(　　)A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定解答：若函数f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(－2)·f（2）<0；（2）该零点是非变号零点，则f(－2)·f（2）>0，因此选D．易错警示：警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端

7、点处函数值的正负，作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(－2，2)内有一个零点时，f(－2)·f（2）的符号不能确定．2．要注意对于在区间[a，b]上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在[a，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件．注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一；②不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点．③由函数在闭区间