我所认识的应力应变关系

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1、我所认识的应力与应变关系机械与动力工程学院张淑颖612080706053在弹塑性力学中，可变性固体在外力作用下将发生变形。根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分成两个明显不同的阶段：当外力小于某一限值（通常称之为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸载后固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形成为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段成为弹性阶段；外力一旦超过弹性极限荷载，这时再卸除和在，固体也不能恢复原状，其中有部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就成为塑性变形，这一阶段成为塑性阶段。在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关系，而

2、且还假设是线性关系；在塑性阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且通常还是非线性关系（这种非线性成为物理非线性）。构成实际固体的材料种类很多，它们的性质各有差异，为方便研究，往往根据材料的主要性质做出某些假设，在弹性理论中，有如下的基本假设：⑴假设物体是连续的。物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的，可以用坐标的连续函数表示。⑵假设物体是均匀的。整个物体是由同一材料组成的，所有各部分具有相同的弹性，物体弹性常数不随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析的结果应用于整个物体。⑶假设物体是

3、各向同性的。物体的弹性在所有各个方向都相同，物体的弹性常数弹性模量、泊松系数不随方向而变。显然，木材和竹材的构件都不能当做各向同性体。至于钢材的构件，虽然含有各向异性的晶体，但由于晶体很微小，而且是随机排列的，因此钢材构件的弹性包含无数多微小晶体随机排列时的统观弹性大致是各向同性的。⑷假设物体是完全弹性的。凡是符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。⑸假设位移和应变是微小的。假定物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且应变和转角都远小于。这样，在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不致引起显著的

4、误差。并且，在考察物体的应变及位移时，转角和应变的二次幂或乘积都可以略去不计，这才可能使得弹性力学中的代数方程和微分方程为线性方程。⑹假设物体内无初应力。认为物体是处于自然状态，即在荷载或温度变化等作用之前，物体内部没有应力。上列基本假设中，第五条假设是属于几何假设，其它假设是属于物理假设。以上述基本假设为根据的弹性理论，称为线性弹性理论。如物体中应力超过弹性极限，物体将处于塑性状态，此时，应力与应变不是线性关系，这是物理上的非线性，研究物体处于塑性状态时的应力与应变的学科，称为塑性理论。在大塑性变形的塑性加工中，其几何关系也是非线性的。在单向应力状态下，理想弹

5、性材料的应力和应变之间的关系极其简单，这就是在材料力学中导出的如下形式的胡克定律：，胡克定律是一个实验定律，式中的E是与材料性质有关的弹性常数，称为弹性模量或杨氏模量。在一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：应力与应变张量均为六个独立分量。则:如果材料呈单值连续关系（不一定线性），则称为柯西（Cauchy）弹性材料（一般意义上的弹性）。呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。可以证明线弹性一定是超弹性。受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关系（胡

6、克定律）的启发，线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式，即矩阵表示形式：其中——分别称为应力和应变列阵——称为弹性矩阵。其元素为36个张量表示形式：其中称为弹性常数，共81个系数，因、各六个独立，缩减为36个独立的常数。对线弹性体而言，如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。根据热力学第一定律和相应数学推导，有势，其势函数U0()为物体单位体积的变形能（应变能）。——Green公式则有由：同理：，，即：弹性矩阵为对称矩阵，共有21个独立的弹性常数。广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。如果材料具有弹性

7、对称面，则本构关系还可简化，使弹性常数进一步缩减。弹性体中每一点均有一个对称方向，在这些对称方向上弹性性质相同，即应力应变关系不变。称为弹性对称。相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。体内一点P(x,y,z)的应力和应变为{}和{}。则其中[C]为各向异性的弹性矩阵现将z轴反向，考察其本构关系在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变但P点坐标和应力应变分量发生变化，两坐标系三轴的方向余弦为x'y'z'x100y0

8、10z00-1由坐标变换