数学分析教学改革谈 ——省级精品课程《数学分

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1、数学分析教学改革谈——省级精品课程《数学分如何不断深入地进行教学改革,努力提高教学质量是摆在我们面前的重大课题。为此，我们对照中外数学分析(微积分）教学改革的现状，结合我院的实际情况深入探讨，以吸取新的经验,从而进一步改善我们的教学,提高教学质量，培育高素质人才。1我国近年来数学分析教学改革状况70年代末，我国数学界迎来了科学的春天。改革开放以后，人们对国际数学研宄的学术动向有了新的了解与认识,看到了我国数学落后的现状，看到了我国数学教育与欧美等国的差异，开始了对我国数学教育的反思。这时，整个数学界比过去更加关注数学教育的改革。在改革开放初期,数学界对数学教育和数学分析

2、有许多的议论。这些议论归纳起来有两点:一是课程设置与学时问题，反映分析类课程（包括实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等）太多，而且基础课程中数学分析的课时太多。相比而言,几何类、代数类的课程过少，学生在代数、几何方面的修养较差，应当有所增加。后来大多数学校数学系的数学分析课由4个学期减为3个学期。其二，对数学分析课程内容本身有较广泛的批评，主要来自“外部”（即非数学分析教师），来自当时的一些老数学家。批评重点是两条：⑴内容太多，过深、过难，过于形式化；⑵“大头分析”，即本末倒置、难易倒置。后者主要指，传统的讲法，初学者在一开始就面临着一大堆抽象艰深的讨

3、论：“戴德金分割法”、“e-5”、“实数完备性的8大定理”、“一致连续性”等，一般要花上12周或13周时间，而学生不知道所为何来，这种教学体系远离了微积分的主题和基本精神，而在实数与极限上大做文章，形成本末倒置,使数学分析像一个身子瘦小，而头很大的“大头娃娃”。这样，在反思与批评中，数学分析课程开始了挣脱旧传统框架的改革之途。这些年来，数学分析教材改革的努力和讨论，主要集中在以下几个问题上：11淡化“实数理论”。有的教材放弃了用戴德金分割法定义实数的方法，而以十进制小数来表示实数，并在此基础上说明或证明了单调有界的序列有极限的定理。其它有关实数的定理则由此推出，对于实数

4、的运算则不加定义。有的教材则干脆不讨论什么是实数，对实数不加定义,而引出实数所应满足的一系列公理，作为今后讨论的平台。当然，对此也有不同的声音与做法。有人认为“数学专业的学生不应该不知道戴德金分割”,有的教材不仅讲实数，还添加了新的内容（度量空间、可数、实数的不可数性等)。12“e-5”训练的问题。所有目前出版的数学分析教材毫无例外地都坚持使用了“e-5”语言来陈述极限，大多数人不赞成取消或不使用“e-5”的作法，大家认为作为数学专业的学生,熟练掌握它依然是必要的。大多数教师已经认识到对于“e-5”的训练应有一个过程,不宜一开始要求过高，也不宜在开始时做过多专门训练的题

5、目，而是应该让学生随着教学不断地使用它，而逐步熟悉、逐步达到熟练应用它。13分散处理有关实数与连续函数性质的讨论。很多教材已经注意到大头极限的问题,大家采取了不同方式来着手解决它。比如,有的教材把这些定理只列出，暂时不加证明，留到以后第3学期再讲证明；有的教材则把有关实数完备性的7个（或8个）定理不集中在一开头讲述，而是把它们打散到各个适当的地方再讲;有的教材把一致连续的概念与闭区间上连续函数一致连续性与其它连续函数的其它性质分开，单独出来，放在讨论函数的黎曼可积的讨论之前讲。这些安排不仅分散了难点，同时也有利于学生更清楚地看清实数的有关定理以及连续函数性质的意义。14

6、关于内容现代化问题。在近年来的教材中，有的做了如下尝试:有的教材在多元微积分中讲述了外微分形式（不借助于外代数），并给出了一般形式的斯托克斯公式，以统一解释场论中各个积分公式；有的教材引入了现代数学的一些概念、术语和词汇，如引入了勒贝格测度和勒贝格积分等。对此看法不一,有一些争议。15理论联系实际的问题。由于外国教材的传入，受其影响，人们更加重视微积分的应用，并努力在教材或习题中举出一些较为生动的例子或题目，以便使读者明了微积分的价值。有的教材把利用微积分从开普勒（IKej-ler)定律导出万有引力公式,作为应用写进课文。16改变单一的教学方式，调动学生学习积极性，培养

7、学生的独立阅读、独立思考和善于表达的能力。改革开放以来，单一的教学方式有所改变，以此来调动学生在教学过程中的主动性。有的学校的数学系，已多年在低年级(一年级下）开办“讨论班”或“读书班”,学生自愿,教师指导，不记学分。这是调动学生学习积极性的好途径，效果显著。2美国近几年微积分教学改革状况在美国微积分是最大的一门课。美国共有5785所大学，总计1600万学生，在这些学生当中，每年约有50万人在他们上大学的第一学年要学习微积分，其中40万人是来自四年制的大学，10万人来自两年制的大学。此外，每年还有25万高中生学习大学的微积分课程。数学、自