函数的奇偶性教案

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1、1.3.2(1)函数的奇偶性【教学目标】1.理解函数的奇偶性及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.学会判断函数的奇偶性；【教学重难点】教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式【教学过程】“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？提出问题①如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.结论：这两个函数之间的图象都关于y轴对称.②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x-3-2-10123f(x)

2、=x2表1x-3-2-10123f(x)=

3、x

4、表2结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x).定义：1．偶函数一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．观察函数f(x)=x和f(x)=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？2．奇函数一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．注意：1、如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；函数的奇偶性是

5、函数的整体性质；2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；4、偶函数的图象关于y轴对称,反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数且奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.且f(0)=05、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可

6、以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断或是否恒成立；（3）、作出相应结论.若；若例．判断下列函数的奇偶性（1）为非奇非偶函数（2）为非奇非偶函数（3）奇函数（4）（5）f(x)=x+；奇函数（6）奇函数（7）既是奇函数又是偶函数（8）为非奇非偶函数常用结论：(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.　　(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.　　(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.　　(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.　　(5).两个奇函数相乘所得

7、的积为偶函数.　　(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.1.3.2(2)函数的奇偶性一．分段函数奇偶性的判断例1.判断函数的奇偶性：解：当＞0时，－＜0，于是当＜0时，－＞0，于是综上可知，是奇函数．练习：1.证明，是奇函数.例2.为R上的偶函数，且当时，，则当时，x(x+1)若f(x)是奇函数呢？二．已知函数的奇偶性求参数值：例3、已知函数是偶函数，求实数的值．解：∵是偶函数，∴恒成立，即恒成立，∴恒成立，∴，即．练习：1.如果二次函数是偶函数，则　0．2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a=b=0三．构造奇偶函

8、数求值例4、已知函数，若，求的值。【解】方法一：由题意得①　②①＋②得∵，∴方法二：构造函数，则一定是奇函数，又∵∴因此所以，即．练习1.已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　-15　)2.若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有最小值－1　　　　　单调性与奇偶性例1．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．例2.设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-1（1）求证：f（x）是

9、奇函数（2）判断f（x）的单调性并证明（3）试问当-3≤x≤3时f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由5、已知函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的，都有（1）、求的值；0，0（2）、判断函数的奇偶性，并加以证明奇4、函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（B）A．B.C.D.