圆有关概念总结

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1、圆的有关概念1、圆的定义　　　　①描述性定义：如图在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一端点A随之旋转所形成的图形叫圆，记作⊙O，读作“圆O”．固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．　　注意：描述性定义直观形象地描述了圆的形成过程，由此可见，确定圆的条件是圆心和半径．　　②点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点称为圆心，定长称为半径．　　注意：点集定义准确深刻地揭示了圆的本质属性，它包括两个方面的含义：一是圆上任意一点到圆心(定点)的距离都等于定长(半径)；二是所有和圆心的距

2、离等于定长(半径)的点都在圆上．　　(2)弦与直径　　①弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．　　②直径：经过圆心弦，称为直径．　　注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．　　(3)弧、优弧、劣弧、半圆　　①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示．　　②半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．　　③优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．2、圆的对称性　　圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　　注意：圆有无数条直径，所以圆有无

3、数条对称轴．3、垂径定理及推论　　定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．　　推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧．4、圆心角　　圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5、圆心角、弧、弦之间的关系　　定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．　　推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等．　　注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或

4、等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．　　(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．　　(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．　　(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．6、圆周角　　(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．　　(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．与圆有关

5、的位置关系1、点和圆的位置关系　　如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．　　(1)d＞r点在圆外；　　(2)d=r点在圆上；　　(3)d＜r点在圆内．2、确定圆的条件　　不在同一直线上的三个点确定一个圆．3、三角形的外接圆　　（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．　　三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．　　注意：①要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外

6、，“内”是指圆内．　　②三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形，从不同角度的两种说法．　　(2)三角形外心的性质：　　①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．　　②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．4直线和圆的位置关系的定义及有关概念　　(1)直线与圆的位置关系有关概念　　①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．　　②切线与切点

7、：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．　　③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．　　(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：　　(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；　　(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；　　(3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)．6、切线　　(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．　　(2)切线的性质：圆的切线垂直

8、于过切点的半径．　　(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．　　(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．7、三角形的内切圆与三角形的内心　　①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．　　②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角