资源描述：
《多项式长除法精讲精练》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。例计算写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x3÷x=x2).2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下(x2·(x−3)=x3−3x2).3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果
2、写在下面。((x3−12x2)−(x3−3x2)=−12x2+3x2=−9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项141.重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。横线之上的多项式即为商，而剩下的(−123)就是余数。算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。考虑多项式P(x),D(x)（(D)的次数<(P)的次数）。然后，对某个商多项式Q(x)和余数多项式R(
3、x)（(R)的系数<(D)的系数），这种变换叫做除法变换，是从算数等式.[1]得到的。14应用:多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用rationalroottheorem得到的。如果一个n次多项式P(x)的一个根r已知，那么P(x)可以使用多项式长除法因式分解为(x-r)Q(x)的形式，其中Q(x)是一个n-1次的多项式。简单来说，Q(x)就是长除法的商，而又知r是P(x)的一个根、余式必定为零。相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知r和s这两个，那么可以先从P(x)中除掉线性因子x
4、-r得到Q(x)，再从Q(x)中除掉x-s，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子x2-(r+s)x+rs。使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果rationalroottheorem可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。寻找多项式的切线多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。[2]如果R(x)是P(x)/(x-r)2的余式——也即，除以x2-2rx+r2——那么
5、在x=r处P(x)的切线方程是y=R(x)，不论r是否是P(x)的根。§2一元多项式及整除性下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根的方法。学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法。定义4设是一个数域，是一个文字，形式表达式其中是数域中的数，是非负整数）称为数域上的一元多项式，通常记为。称为次项的系数。例如：是多项式不是多项式，因为不是非负整数。定义5如果数域上多项式，同次项系数都相等，称与相等记为：=一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定定义6在（1）中如果，称为
6、多项式14的次数，记为。零多项式不定义次数。下面给出多项式加法与乘法：设是数域是的多项式。规定。易验证多项式加法与乘法满足下列算律：加法交换律：加法结合律：乘法交换律乘法结合律乘法对加法的分配律关于多项式次数，我们有定理2设，是数域上的两个多项式，则(1)当+时+(2)当时证明：略。明显地利用定理5不难证明推论：若则TopofForm一个三位数1：三个数相加为20。2：百位上的数字比十位上的数大5。3：个位上的数是十位上数的3倍，这个3位数是什么？BottomofFormTopofForm设十位数为x，百位
7、数（x+5），各位3x。相加为20，所以x+x+5+3x=20。所以x=3，也就是839.第五讲多项式1.(一、多项式的整除概念)2.(二、最大公因式)(本页)3.(三、多项式的因式分解)4.(四、重因式五、多项式的函数)5.(六、复与实系数多项式的因式分解)6.(七、有理数域上的多项式)14如果多项式既是的因式,又是的因式,那么称为与的公因式.定义3设.如果上多项式满足以下条件:(1)是与的公因式;(2)与的任何公因式都是的因式,则称是与的一个最大公因式.引理如果有等式成立,那么,和,有相同的公因式.由于
8、在上述引理中,我们可得到次数比的次数小的.因此求,的最大公因式的问题可转化为求次数低一些的一对多项式,的最大公因式的问题.如此下去,这就是下面辗转相除法的思想.定理3数域上任意两个多项式与一定有最大公因式,且除相差一个非零常数倍外,与的最大公因式是唯一确定的,且与的任意最大公因式都可以表示成与的一个组合,即有中的多项式,使得当与不全为零时,其最大公因式,而与的任一最大公因式必为的形式,其中为上非零数.14在这些最
