第二章轴向拉伸和压缩

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1、第二章轴向拉伸和压缩§2.1轴向拉压杆的内力1.1工程实际中的轴向受拉杆和轴向受压杆1.2轴向拉压杆的内力——轴力和轴力图截面法求内力：假想用一截面m-m将杆分割为I和II两部分;取其中的任一部分（例如I）为脱离体，并将另一部分（例如II）对脱离体部分的作用;用在截开面上的内力的合力N来代替（图2-2b），则可由静力学平衡条件：因此截面上的内力：同样，若以部分II为脱离体（图2-2c），也可求得代表部分I对部分II作用的内力为注意：它与代表部分II对部分I的作用的内力等值而反向轴力——内力N作用线通过截面形心，即

2、沿杆轴线作用，故称为轴力。量纲为［力］，在国际单位制中常用的单位是N（牛）或kN（千牛）。一般规定：轴力的指向离开截面时为正号轴力；指向朝向截面时为负号轴力。即拉力符号为正，压力符号为负。1.3轴力图轴力图——用平行于杆轴线的坐标表示截面位置，用垂直杆轴线的坐标表示截面上轴力大小，从而给出表示轴力沿截面位置关系的图例，即为轴力图。例题2-1变截面杆受力情况如图2-3所示，试求杆各段轴力并作轴力图。解：（1）先求支反力固定端只有水平反力，设为XA，由整个杆平衡条件－XA+5－3+2＝0，XA＝5+2－3＝4kN（2

3、）求杆各段轴力该杆分成AB、BD和DE三段。在AB段内用任一横截面1-1将杆截开后，研究左段杆的平衡。在截面上假设轴力N1为拉力（如图(b)）。由平衡条件N1－XA＝0，N1＝4kN。结果为正，说明原假设拉力是正确的。在BC及CD段，横截面积虽有改变，但平衡方程式与截面大小无关，故只取一段。如在BD段用任一截面2-2将杆截开，研究左段杆的平衡。在截面上轴力N2仍设为拉力（如图2-3（c））。由平衡条件：N2+5－4＝0，N2＝－1kN。结果为负，说明实际方向与原假设的N2方向相反，即为压力。同理在DE段，用任一截

4、面3-3将杆截开，研究右段杆的平衡，因为该杆段的外力较少，计算简例，假设轴力N3为拉力（如图2-3（d）），由，得N3＝2kN。（3）作轴力图取一直角坐标系，以与杆轴平行的坐标轴x表示截面位置，对齐原题图下方画出坐标轴。然后，选定比例尺，纵坐标N表示各段轴力大小。根据各截面轴力的大小和正负号画出杆轴力图，如图2-3（e）。§2.2轴向拉压杆的应力2.1横截面上的应力根据由实验中观察到的变形现象，作出关于变形分布规律的假设，然后据以推导出应力的计算公式。变形实验如右图示：杆受轴向拉力P后，杆发生变形，在杆的表面上可

5、观察到如下的现象：（1）周边线ab、cd等分别移到了、等位置，但仍保持为直线，且仍互相平行及垂直于杆轴线。（2）纵向直线ef、gh等分别移到了、等位置，但仍保持与杆轴线平行。根据现象做出如下假设：杆在变形以前的横截面，在变形以后仍保持为平面且仍与杆轴线垂直。通常把这个假定叫做平面假设。根据平面假设可知：当杆受拉时，所有的纵向纤维都均匀地伸长，即在杆横截面上各点处的变形都相同。因内力是伴随着变形一同产生的，故在杆横截面上的内力也一定是均匀分布的。横截面上正应力计算由图2-5b可见，作用在微面积dA上的微内力dN=d

6、A通过积分可求得作用在杆横截面上的内力因在横截面上各点处的正应力相等，故从而上式即为轴向受拉杆横截面上正应力的计算公式。又N＝P，故单位是Pa，在工程单位制中常用的单位是kg/cm2和t/m2。例题2-4：图2-6表示用两根钢丝绳起吊一扇平板闸门。若每根钢丝绳上所受的力为20kN，钢丝绳圆截面的直径d＝20mm，试求钢丝绳横截面上的应力。解：钢丝绳的轴力N＝P＝20kN＝2×104N钢丝绳的横截面积由公式可求得钢丝绳横截面上的应力为：2.2斜截面上的应力轴向受拉杆用一与其横截面mk成a角的斜截面mn（简称为a截面

7、）将其分成为I、II两部分，并取部分I为脱离体由静力学平衡方程,可求得a截面上的内力在a截面上的应力为pa，其指向与杆轴线平行，且在整个a截面上是均匀分布的。若以Aa与A分别表示截面m－n与横截面m－k的面积，则由图2-7可知将式（a）、（c）代入式（b），即可求得截面上的应力a截面上的应力为pa：为了研究方便，通常pa将分解为两个分量，即沿截面法线方向（或垂直于截面）的分量与沿截面切线方向（或平行于截面）的分量。方向规定：a角以自横截面的外向法线量起，到所求斜截面的外向法线为止，是反时针转时为正，是顺时针转时为

8、负；正应力仍以拉应力为正，压应力为负。剪应力以它对所研究的脱离体内任一点（例如C）的力矩的转向是顺时针转时为正，是反对时针转时为负。如图2-8示：例题2-5有一受轴向拉力P＝100kN的拉杆（图2-9a），其横截面面积A＝1000mm2。试分别计算a＝0°、a＝90°及a＝45°各截面上的sa和ta的数值。解：（a）解：（a）a＝0°的截面即杆的横截面（如图2-9中的截面