数学建模上课

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1、第六部分插值与拟合实际生活中经常会遇到这样的问题：给定一批数据点，需要确定满足特殊要求的曲线或曲面。如果要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，这就是插值问题，在数据教少的情况下，这样做能取得较好的效果。但是，如果数据较多，那么插值函数是一个次数很高的函数，比较复杂，同时，给定的数据一般是由观察测量所得，往往带有随机误差，因而，要求曲线（面）通过所有数据点就既不现实也不必要。如果不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函数，这就是数据拟合。函数插值与数据拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为

2、近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。一、插值问题1、拉格朗日插值若知道函数在互异的两个点和处的函数值和，而想估计该函数在另一点处的函数值，最自然的想法是作过点和点的直线，用作为准确值的近似值，如果认为误差太大，还可增加一点的函数值，即已知在互异的三个点和处的函数值和，可以构造一个过这三点的二次曲线，用作为准确值的近似值。【定义1】一般的，若已知在互异的个点处的函数值，则可以考虑构造一个过这个点的次数不超过的多项式，使其满足（1）然后用作为准确值的近似值。此方法就叫做插值法，这样构造出来的多项式称为的次拉格朗日插值多项

3、式或插值函数。称点为插值结点，称式(1)为插值条件，含的最小区间叫做插值区间。【定理1】满足插值条件(1)的次数不超过的多项式是存在的而且是唯一的。1.1线性插值公式已知函数在互异的两个点和处的函数值和，欲求一个次数不超过1的多项式，使其满足：，（2）根据定理1，是存在而且唯一的，称为线性插值函数或一次插值多项式。用点斜式可以写出过点和点的直线方程：，因此，将它写成对称式为（3）我们称(3)式为拉格朗日线性插值函数或一次拉格朗日插值公式。若引入记号：，则(3)式可以写成：(4)其中满足：我们称为线性插值或一次拉格朗日插值的基函数。例1根

4、据下表给出的平方根的值，用线性插值计算，149161234解：取最接近的两点为插值节点，运用插值公式（3），得1.2抛物线插值公式已知函数在三个互异点和处的函数值和，欲求一个次数不超过2的多项式，使其满足：(5)根据定理1，11是存在而且唯一的。下面仿照线性插值时构造插值函数的方法，用基函数的线性组合作出满足(5)的二次插值多项式，此时有三个基函数：,它们都是二次函数。分别满足下列条件：(6)由上述条件可以推出的表达式：例如：由于是的零点，故必为形式，为待定系数，又由于，代入此式解出，从而得到的表达式为：同理可得：根据以上讨论，我们得到

5、二次插值多项式为：(7)称为抛物线插值函数或二次插值多项式。例2根据例1的数据，用抛物线法计算的近似值。解：选择与最接近的三点为插值节点，根据抛物线插值公式(7)，有练习：已知在处的函数值，求的近似值。1.3一般情形一般的次插值问题是构造满足条件(1)的次数不超过的多项式。与构造线性和二次插值多项式类似，次拉格朗日插值公式可表成次插值基函数的线性组合，(8)其中是次多项式，且满足(9)与前面推导类似，可以由(9)式得到的具体表达式：,(10)为便于书写，引进记号：,取在处的导数，得于是拉格朗日插值公式可写为：1.4插值多项式的余项本段讨

6、论用次插值多项式来近似函数时的误差。记并称为次插值多项式的截断误差，或称为插值余项。【定理2】假设函数在上有阶导数，且(11)是经过数据点的次数不高于的多项式。则对区间上的任何都存在(依赖于)，使得(12)其中(13)插值公式的余项可以给出多项式逼近的误差估计。2、分段插值11多项式历来都被认为是最好的逼近工具之一。用多项式作插值函数，就是前面的代数插值。一般情况下，似乎可以靠增加插值结点的数目来改善插值的精度，但插值多项式的次数会随着结点个数的增加而升高，可能造成插值函数的收敛性和稳定性变差，逼近的效果往往是不理想的，甚至会发生龙格振

7、荡现象。（龙格在本世纪初发现：在区间上用个等距结点作插值多项式，使得它在结点的值与函数在对应结点的值相等，当时，插值多项式在区间的中部趋于，但是对于满足条件的，并不趋于在对应点的值。这种现象就叫做龙格现象。）若插值的范围较小（在某个局部），用低次插值往往就能奏效，例如对在每个子段上用线性插值，即用连接相邻结点的折线逼近所考察的曲线，就能保证一定的逼近效果。这种增加结点，用分段低次多项式插值的化整为零的处理办法称为分段插值法，也就是说不是去寻求整个插值区间上的一个高次多项式，而是把插值区间划分为若干个小区间，在每个小区间上用低次多项式进行

8、插值，在整个插值区间上就得到一个分段插值函数。区间的划分是任意的，各个区间上插值多项式的次数的选取也可按具体问题选择。分段插值法通常有较好的收敛性和稳定性，算法简单，克服了龙格现象，但插值函数不如拉格朗日插