微分方程-精品课程欢迎您

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1、拓展模块第七章常微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4．会用降阶法解下列微分方程：，和5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方

2、程组。9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程，和3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程30拓展模块7.1常微分方程的引入下面我们通过几何、力学及物理学中的几个具体例题来说明微分方

3、程的基本概念.例1一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这曲线的方程.解设所求曲线的方程为.根据导数的几何意义，可知未知函数应满足关系式.(1)此外，未知函数还应满足下列条件：时，.(2)把(1)式两端积分，得即,(3)其中是任意常数.把条件“时,”代入(3)式，得,由此定出C=1.把C=1代入(3)式，即得所求曲线方程.(4)例2列车在平直路线上以(相当于)的速度行驶；当制动时列车获得加速度.问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车在开始制动后ts时行驶了sm.根据题意，反映制动阶段列车运动规律

4、的函数应满足关系式.(5)此外，未知函数还应满足下列条件：时，，.(6)把(5)式两端积分一次，得；(7)再积分一次，得，(8)这里，都是任意常数.把条件“时,”代入(7)式，得；把条件“时,”代入(8)式，得；把，的值代入(7)及(8)式，得，(9).(10)在(9)式中令得到列车从开始制动到完全停住所需的时间.再把代入(10)式，得到列车在制动阶段行驶的路程30拓展模块.上述两个例子中的关系式(1)和(5)都含有未知函数的导数，它们都是微分方程.一般的，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程.微分

5、方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶.例如，方程(1)是一阶微分方程；方程(5)是二阶微分方程.又如,方程是三阶微分方程；方程是四阶微分方程.一般的，n阶微分方程的形式是.(11)这里必须指出，在方程(11)中，是必须出现的，而等变量则可以不出现.例如n阶微分方程中，除外，其他变量都没有出现.如果能从方程(11)中解出最高阶导数，则可得微分方程(12)以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程.由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数(解微分方程

6、)，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式.这个函数就叫做该微分方程的解.确切地说，设函数在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，，那么函数就叫做微分方程(11)在区间I上的解.例如，函数(3)和(4)都是微分方程(1)的解；而函数(8)和(10)都是微分方程(5)的解.如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这里所说的任意常数是相互独立的,就是说,它们不能合并而使得任意常数的个数减少(参看本章第三节关于函数组的线性相关性).，这样的解叫做微分方程的通解.例如，函数(3)是方程(1)的解，它

7、含有一个任意常数，而方程(1)是一阶的，所以函数(3)是方程(1)的通解.又如，函数(8)是方程(5)的解，它含有两个任意常数，而方程(5)是二阶的，所以函数(8)是方程(5)的通解.由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性.要完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数的值.为此,要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件.例如，例1中的条件(2)及例2中的条件(6)便是这样的条件.设微分方程中的未知函数为，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是时，，或写成其中、都是给定的值；如果微分方程是二阶的

8、，通常用来确定任意常数的条件是时,，或写成其中、和都是给定的值.上述这种条件叫做初始条件.确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特