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1、第七篇微分方程第九章常微分方程 函数是客观事物的内部联系在数量关系上的反映，利用函数关系，可以对客观事物的规律性加以研究。如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义。而在许多实际问题中，往往不能直接找出函数关系，而根据问题提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。未知函数是一元函数时就称为常微分方程。§1常微分方程的基本概念1．引例 例1一曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M（x,y）处的切线斜率为2x，求此曲线的方程。 解：根据导数的几何意义，可知所求曲线y=y(x),应满足方程 此外，未知函数y=y(x)还满足当x=1
2、时，y=2。对（1）式积分，得， 其中c为任意常数。再把条件x=1,y=2代入上式，就得c=1。故所求曲线方程为， 例1求初速度为零，初始位移为零的匀加速度为a的直线方程。 解：设其运动方程为s=s(t),根据加速度的物理意义知,它满足条件 对上式两边积分，得， 再积分一次得， 故所求运动方程为1．微分方程的基本概念 由上面两个例子可以抽象出微分方程的基本概念， 微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式。 微分方程的阶：方程中未知函数最高阶导数的阶数。 常微分方程：一元未知函数的微分方程。 偏微分方程：未知函数为多元函数的微分方程。N阶微分方程的一般
3、形式：特别地，一阶微分方程形如 或者， 微分形式表达M(x,y)dx+N(x,y)dy=0微分方程的解：如果一个函数，代入微分方程后，使方程变成一个恒等式，则称次函数为该方程的解。通解：若微分方程的解中含有与方程阶数相同个数的相互独立的任意常数，这样的解称为微分方程的通解。 定解条件：为了确定微分方程的一个特定的解，通常已知这个解所必须满足的条件，这些条件称为定解条件。 特解：根据定解条件确定了任意常数后所得的解称为微分方程的特解。 隐式解：若解是一个隐函数，则称这个隐函数是方程的隐式解。3.求微分方程通解和特解的步骤 第一步，根据题设条件，建立未知函数所满足的微分
4、方程； 第二步，求微分方程的通解； 第三步，根据定解条件，确定通解中的任意常数的特定取值； 第四步，写出特解。§2可分离变量方程 形如 的一阶微分方程方程称为可分离变量方程。对于可分离变量方程我们可以分离变量 然后直接积分获得通解， 解：当y≠0,方程可化为 直接积分得， 可以验证它是微分方程的通解。§3齐次方程1．齐次方程 对于这类方程，可以通过如下的变量代换化为可分离变量的方程。 可分离变量为2．可化齐次方程因为Δ≠0，故这样的解唯一存在§4一阶线性方程1．一阶线性齐次方程 其中，p(x)和q(x)为已知函数，称q(x)为方程
5、的自由项。特别当q(x)=0时，方程 其“线性”含义是方程中所含y及其导数是一次幂的。一阶线性齐次方程属可分离变量方程，求解如下， 从而得一阶线性齐次方程的通解。 例1解微分方程 原方程通解为：2.一阶线性非齐次方程 令q(x)=0，得到它所对应的齐次方程求解非齐次方程的常数变异法： 先求出齐次方程的通解， 再将任意常数c换成关于x的待定函数c(x),假定， 为非齐次方程（1）的解，将它代入（1）应满足，从而得 那么非齐次方程的通解为： 解：此方程属于一阶线性非齐次方程3．伯努力方程 此时n≠0,1。从而伯努力方程化为一阶线性非
6、齐次方程 然后按一阶线性非齐次方程求解。§5全微分方程1．概念 如一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0（1）的左边表达式是某个二元函数u=u(x,y)的全微分，则称此方程为全微分方程。2．判别方法 方程（1）为全微分方程的充分必要条件：3．求解方法1）曲线积分法： 因右边的曲线积分与路径无关，所以， 因为du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,所以，u(x,y)=C为方程的通解。例1解方程(4x+2y)dx+(2x-6y)dy=0.解:M(x,y)=4x+2y,N(x,y)=2x-6y故方程为全微分方程,取 故原方程的通
7、解为2)直接积分法:上式两端直接积分,可得,再由 所以 通解为凑微分法 例2解方程 解:将等式左边进行分组组合 故方程通解为:§6可降阶的高阶微分方程1.可直接积分求解的高阶方程 例如 在方程两端接连积分三次可得通解 一般的,对形如的N阶微分方程可接连积分N次得通解. 2.两种可降阶的高阶微分方程 类型1)不显含未知函数型 令则方程可降为N-k阶方程特别地,二阶微分方程(不显含未知函数y)令则方程化为一阶方程 例1解方程 解:令则原方程化为 分离变量 直接积分得通解:类型
